在机床的实际加工中，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成。然而，对于简单的曲线，数控装置易于实现，但对于较复杂的形状，若直接生成，势必会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加。因此，在实际应用中，常常采用一小段直线或圆弧去进行逼近，有些场合也可以用抛物线、椭圆、双曲线和其他高次曲线去逼近(或称为拟合)。所谓插补是指数据密化的过程。在对数控系统输入有限坐标点(例如起点、终点)的情况下，计算机根据线段的特征(直线、圆弧、椭圆等)，运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，即所谓数据密化，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。
插补有二层意思:①用小线段逼近产生基本线型(如直线、圆弧等);②用基本线型拟和其它轮廓曲线。
下面以基本线型直线、圆弧生成为例，论述插补原理。包括基准脉冲插补和数据采样插补。
1基准脉冲插补
每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉冲当量或行程的增量。脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。下面重点介绍逐点比较法。
逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。它的特点是:运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。
1.1逐点比较法直线插补
①偏差函数构造。
对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye
若刀具加工点为Pi(Xi，Yi)，则该点的偏差函数Fi可表示为:
②偏差函数字的递推计算。
采用偏差函数的递推式(迭代式)，既由前一点计算后一点。
Fi=Yi Xe-XiYe
若Fi>=0，规定向 +X 方向走一步:
Xi+1=Xi +1 Fi+1=XeYi–Ye(Xi+1)=Fi-Ye
若Fi<0，规定+Y方向走一步，则有:
Yi+1=Yi +1 Fi+1=Xe(Yi+1)-YeXi =Fi+Xe
③终点判别。
直线插补的终点判别可采用三种方法:判断插补或进给的总步数;分别判断各坐标轴的进给步数;仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0。终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补
1.2逐点比较法圆弧插补
①偏差函数。
任意加工点Pi(Xi，Yi)，偏差函数Fi可表示为:
②偏差函数的递推计算。
逆圆插补:若F≥0，规定向-X方向走一步;若Fi<0，规定向+Y方向走一步。 顺圆插补:若Fi≥0，规定向-Y方向走一步;若Fi<0，规定向+y方向走一步。
③终点判别。
判断插补或进给的总步数;分别判断各坐标轴的进给步数。
2数据采样插补
采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量，作为指令发给伺服驱动装置。该装置按伺服检测采样周期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动，误差为零停止，从而完成闭环控制。
数据采样插补分为粗插补和精插补。
粗插补:采用时间分割思想，根据进给速度F和插补周期T，将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长L,L=FT，然后计算出每个插补周期的坐标增量。
精插补:根据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。
插补周期和检测采样周期。
插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和，现代数控系统一般为2~4ms，有的已达到零点几毫秒。插补周期应是位置反馈检测采样周期的整数倍。采用弦线(l)逼近时，半径为r的被逼近圆弧最大半径误差er，其对应的圆心角为δ，可推导出:
当采用内外均差(era = eri)的割线时，半径误差更小，是内接弦的一半;若令二种逼近的半径误差相等，则内外均差弦的轮廓步长或步距角是内接弦时。但由于内外均差割线逼近时，插补计算复杂，很少应用。由上面分析可知:圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径r成反比，与插补周期T 和进给速度F 的平方成正比。
数据采样插补方法有:直线函数法、扩展DDA、二阶递归算法等。重点介绍直线函数法和扩展DDA法。
2.1直线函数法(弦线法)
上式中， 和 都是未知数，难以用简单方法求解，采用近似计算。
2.2扩展DDA法数据采样插补
将DDA的切向逼近改变为割线逼近。具体还是计算一个插补周期T内，轮廓步长L的坐标分量∆Xi和∆Yi可得:
其中:
特点:计算简单，速度快，精度高。
3 结 论
本文主要讨论了机床数控插补原理与插补运算，以基本线型直线、圆弧生成为例，讨论了基本脉冲插补和数据采样插补，对理解数控机床的工作原理具有重要的理论和实践意义。
