一般而言，粘性土坡由于剪切而破坏的滑动面大多数为一曲面，一般在破坏前坡顶先有张裂缝发生，继而沿某一曲线产生整体滑动。图7-5中的实线表示一粘性土坡滑动面的曲面，在理论分析时可以近似地将其假设为圆弧，如图中虚线表示。为了简化计算，在粘性土坡的稳定性分析中，常假设滑动面为圆弧面。建立在这一假定上的稳定性分析方法称为圆弧滑动法。这是极限平衡方法的一种常用分析方法。

一、整体圆弧滑动法

瑞典的彼得森(K.E.Petterson)于1915年采用圆弧滑动法分析了边坡的稳定性。此后，该法在世界各国的土木工程界得到了广泛的应用。所以，整体圆弧滑动法也被称为瑞典圆弧法。如右图，表示一个均质的粘性土坡，它可能沿圆弧面AC滑动。土坡失去稳定就是滑动土体绕圆心O发生转动。这里把滑动土体当成一个刚体，滑动土体的重量W为滑动力，将使土体绕圆心O旋转，滑动力矩M_s=Wd（d为通过滑动土体重心的竖直线与圆心O的水平距离）。抗滑力矩M_R由两部分组成：①滑动面AC上粘聚力产生的抗滑力矩，值为c·

·R；②滑动土体的重量W在滑动面上的反力所产生的抗滑力矩。反力的大小和方向与土的内摩擦角φ值有关。当φ=0时，滑动面是一个光滑曲面，反力的方向必定垂直于滑动面，即通过圆心O，它不产生力矩，所以，抗滑力矩只有前一项c·

·R。这时，可定义粘性土坡的稳定安全系数为：

此式即为整体圆弧滑动法计算边坡稳定安全系数的公式。注意，它只适用于φ=0的情况。若φ≠0，则抗滑力与滑动面上的法向力有关，其求解可参阅下面的条分法。

二、瑞典条分法

所谓瑞典条分法，就是将滑动土体竖直分成若干个土条，把土条看成是刚体，分别求出作用于各个土条上的力对圆心的滑动力矩和抗滑力矩，然后按上述公式求土坡的稳定安全系数。

把滑动土体分成若干个土条后，土条的两个侧面分别存在着条块间的作用力(右图)。作用在条块i上的力，除了重力W_i外，条块侧面ac和bd上作用有法向力P_i、P_{i 1}，切向力H_i、H_{i 1}，法向力的作用点至滑动弧面的距离为h_i、h_{i 1}。滑弧段cd的长度l_i，其上作用着法向力N_i和切向力T_i，T_i包括粘聚阻力c_i·l_i和摩擦阻力N_i·tgφ_i。考虑到条块的宽度不大，W_i和N_i可以看成是作用于cd弧段的中点。在所有的作用力中，P_i、H_i在分析前一土条时已经出现，可视为已知量，因此，待定的未知量有P_{i 1}、H_{i 1}、h_{i 1}、N_i和T_i5个。每个土条可以建立三个静力平衡方程，即ΣF_xi=0，ΣF_zi=0和ΣM_i=0和一个极限平衡方程T_i=（N_i·tgφ_ic_i·l_i）/ F_s。

如果把滑动土体分成n个条块，则n个条块之间的分界面就有(n-1)个。分界面上的未知量为3(n-1)，滑动面上的未知量为2n个，还有待求的安全系数F_s，未知量总个数为(5n-2)，可以建立的静力平衡方程和极限平衡方程为4n个。待求未知量与方程数之差为(n-2)。而一般条分法中的n在10以上。因此，这是一个高次的超静定问题。为使问题求解，必须进行简化计算。瑞典条分法假定滑动面是一个圆弧面，并认为条块间的作用力对土坡的整体稳定性影响不大，故而忽略不计。或者说，假定条块两侧的作用力大小相等，方向相反且作用于同一直线上。图中取条块i进行分析，由于不考虑条块间的作用力，根据径向力的静力平衡条件，有：

N_i=W_icosθ_i

根据滑动弧面上的极限平衡条件，有：

T_i=T_fi/F_s=(c_i·l_iN_i·tgφ_i)/ F_s

式中：

T_fi——条块i在滑动面上的抗剪强度；

F_s——滑动圆弧的稳定安全系数。

另外，按照滑动土体的整体力矩平衡条件，外力对圆心力矩之和为零。在条块的三个作用力中，法向力N_i通过圆心不产生力矩。重力W_i产生的滑动力矩为：

∑W_i·d_i=∑Wi·R·sinθ_i

瑞典条分法是忽略了土条块之间力的相互影响的一种简化计算方法，它只满足于滑动土体整体的力矩平衡条件，却不满足土条块之间的静力平衡条件。这是它区别于后面将要讲述的其它条分法的主要特点。由于该方法应用的时间很长，积累了丰富的工程经验，一般得到的安全系数偏低，即误差偏于安全，所以目前仍然是工程上常用的方法。

三、毕肖甫条分法

毕肖甫(A.N.Bishop)于1955年提出一个考虑条块间侧面力的土坡稳定性分析方法，称为毕肖甫条分法。此法仍然是圆弧滑动条分法。

在右图中，从圆弧滑动体内取出土条i进行分析。作用在条块i上的力，除了重力W_i外，滑动面上有切向力T_i和法向力N_i，条块的侧面分别有法向力P_i、P_{i 1}和切向力H_i、H_{i 1}。假设土条处于静力平衡状态，根据竖向力的平衡条件，应有：

根据满足土坡稳定安全系数F_s的极限平衡条件，有：

T_i =(c_i·l_iN_i·tgφ_i)/ F_s

与瑞典条分法相比，简化的毕肖甫法是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力的多边形闭合条件，也就是说，隐含着条块间有水平力的作用，虽然在公式中水平作用力并未出现。

所以它的特点是：(1)满足整体力矩平衡条件；(2)满足各个条块力的多边形闭合条件，但不满足条块的力矩平衡条件；(3)假设条块间作用力只有法向力没有切向力；(4)满足极限平衡条件。由于考虑了条块间水平力的作用，得到的稳定安全系数较瑞典条分法略高一些。很多工程计算表明，毕肖甫法与严格的极限平衡分析法，即满足全部静力平衡条件的方法(如下述的简布法)相比，结果甚为接近。由于计算过程不很复杂，精度也比较高，所以，该方法是目前工程中很常用的一种方法。

四、普遍条分法(简布法，N.Janbu)

普遍条分法的特点是假定条块间水平作用力的位置。在这一假定前提下，每个土条块都满足全部的静力平衡条件和极限平衡条件，滑动土体的整体力矩平衡条件也自然得到满足。而且，它适用于任何滑动面，而不必规定滑动面是一个圆弧面，所以称为普遍条分法。

它是由简布提出的，又常称为简布法。

简布公式如下：

比较毕肖甫公式和简布公式，可以看出两者很相似，但分母有差别，毕肖甫公式是根据滑动面为圆弧面，滑动土体满足整体力矩平衡条件推导出的。简布公式则是利用力的多边形闭合和极限平衡条件，最后从

得出。显然这些条件适用于任何形式的滑动面而不仅仅局限于圆弧面，在简布公式中，ΔH_i仍然是待定的未知量。毕肖甫没有解出ΔH_i，而让ΔH_i=0，从而成为简化的毕肖甫公式。而简布法则是利用条块的力矩平衡条件，因而整个滑动土体的整体力矩平衡也自然得到满足。

将作用在条块上的力对条块滑弧段中点O_i取矩(上图(b))，并让∑M_Oi=0。重力W_i和滑弧段上的力N_i和T_i均通过O_i，不产生力矩。

边坡真正的稳定安全系数还要计算很多滑动面，进行比较，找出最危险的滑动面，其边坡稳定安全系数才是真正的安全系数。这种计算工作量相当浩繁，一般要在计算机上计算。

五、有限元法

从瑞典条分法到普遍条分法的基本思路都是把滑动土体分成有限宽度的土条，把土条当成刚体，根据滑动土体的静力平衡条件和极限平衡条件，求得滑动面上力的分布，从而可以计算出边坡稳定安全系数F_s。但是，因为土体是变形体，而并非是刚体，所以，引用分析刚体的办法来分析变形体，并不满足变形协调条件，因而计算出的滑动面上的应力状态不可能是真实的。有限元法就是把土坡当成变形体，按照土的变形特性，计算出土坡内的应力分布，然后，再把圆弧滑动面的概念引入其中，验算滑动土体的整体抗滑稳定性。

将土坡划分成许多单元体。用有限元法可以计算出每个土单元的应力、应变和每个结点的结点力和位移。这种计算目前已经成为土石坝应力变形分析的常用方法，有各种现成的程序可供应用。坝坡在重力的作用下剪切变形的轨迹类似于滑弧面。

土坡的应力计算出来以后，再引入圆弧滑动面的概念。把可能的圆弧滑动面划分成若干个小弧段Δl_i，小弧段Δl_i上的应力用弧段中点的应力代表，其值可以按照有限元法应力分析的结果，根据弧段中点所在的单元的应力确定，表示为

，

，

。如果小弧段Δl_i与水平线的倾角为θi，则作用在弧段上的法向应力和剪应力分别为

将滑动面上所有小弧段的剪应力和抗剪强度分别求出来以后，再累加求得沿着滑动面总的剪切力

和抗剪力

。因此，边坡稳定安全系数为：

很显然，有限元分析方法的优点是把边坡稳定分析与坝体的应力和变形分析结合起来。这时，滑动土体自然满足静力平衡条件而不必如条分法那样引入人为的假定。但是，当边坡接近失稳时，滑裂面通过的大部分土单元处于临近破坏状态，这时，用有限元法分析边坡内的应力和变形所需要的土的基本特性，如变形特性，强度特性等均变得十分复杂，因此，要提出一种能反映土体实际受力状况的计算模型是很不容易的。如果说在边坡稳定性分析中极限平衡分析法是当前工程上主要应用的方法，那么，有限元方法则是一种潜在的具有很大发展前景的方法。

六、最危险滑裂面的确定方法和容许安全系数

（一）最危险滑裂面的位置

以上介绍的是计算某个位置已经确定的滑动面稳定安全系数的几种方法。这一稳定安全系数并不代表边坡的真正稳定性，因为边坡的滑动面是任意选取的。假设边坡的一个滑动面，就可计算其相应的安全系数。真正代表边坡稳定程度的稳定安全系数应该是稳定安全系数中的最小值。相应于边坡最小的稳定安全系数的滑动面称为最危险滑动面，它才是土坡真正的滑动面。

确定土坡最危险滑动面圆心的位置和半径大小是稳定分析中最繁琐、工作量最大的工作。需要通过多次的计算才能完成。这方面费伦纽斯(W.Fellenius)提出的经验方法，对于较快地确定土坡最危险的滑动面很有帮助。

费伦纽斯认为，对于均匀粘性土坡，其最危险的滑动面一般通过坡趾。在φ=0法的边坡稳定分析中，最危险滑弧圆心的位置可以由右图(a)中和夹角的交点确定。β₁、β₂的值与坡角α大小的关系，可由下表查用。

对于φ>0的土坡，最危险滑动面的圆心位置如图(b)所示。首先按图(b)中所示的方法确定DE线。自E点向DE延线上取圆心O₁、O₂…，通过坡趾A分别作圆弧，AC₁、AC₂、…，并求出相应的边坡稳定安全系数F_s1、F_s2…。

各种坡角的β ₁、β ₂值

坡角α	坡度1∶m	β1	β2
60°	1∶0.58	29°	40°
45°	1∶1.0	28°	37°
33°41′	1∶1.5	26°	35°
26°34′	1∶2.0	25°	35°
18°26′	1∶3.0	26°	35°
14°02′	1∶4.0	25°	36°
11°19′	1∶5.0	25°	39°

然后，再用适当的比例尺标在相应的圆心点上，并且连接成安全系数F_s随圆心位置的变化曲线。曲线的最低点即为圆心在DE线上时安全系数的最小值。但是真正的最危险滑弧圆心并不一定在DE线上。通过这个最低点，引DE的垂直线FG。在FG线上，在DE延线的最小值前后再定几个圆心O₁'，O₂'…，用类似步骤确定FG线上对应于最小安全系数的圆心，这个圆心。才被认为是通过坡趾滑出时的最危险滑动圆弧的中心。

当地基土层性质比填土软弱，或者坝坡不是单一的土坡，或者坝体填土种类不同、强度互异时，最危险的滑动面就不一定从坡趾滑出。这时寻找最危险滑动面位置就更为繁琐。实际上，对于非均质的、边界条件较为复杂的土坡，用上述方法寻找最危险滑动面的位置将是十分困难的。随着计算机技术的发展和普及，目前可以采用最优化方法，通过随机搜索，寻找最危险的滑动面的位置。国内已有这方面的程序可供使用。

（二）边坡容许安全系数

在土坡稳定的分析中，从土体材料的强度指标到计算方法，很多因素都无法准确确定。因此，如果计算得到的土坡稳定安全系数等于1或稍大于1，并不表示边坡的稳定性能得到可靠的保证。安全系数必须满足一个最起码的要求，称为容许安全系数。容许安全系数值是以过去的工程经验为依据并以各种规范的形式确定。因此采用不同的抗剪强度试验方法和不同的稳定分析方法所得到的安全系数差别甚大，所以在应用规范所给定的土坡稳定容许安全系数时，一定要注意它所规定的试验方法和计算方法。

碾压式土石坝坝坡容许稳定安全系数

运用条件	工程等级
	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ、Ⅴ
正常运用条件	1.3	1.25	1.2	1.15
非常运用条件Ⅰ	1.2	1.15	1.1	1.05
非常运用条件Ⅱ	1.1	1.05	1.05	1

注：正常运用条件系指：

（1）水库水位处于正常高水位(或设计洪水位)与死水位之间的各种水位下的稳定渗流期；

（2）水库水位在上述范围内的经常性正常降落；

（3）抽水蓄能电站的水库水位的经常性变化和降落。

非常运用条件Ⅰ系指：

（1）施工期；

（2）校核洪水位下有可能形成稳定渗流的情况；

（3）水库水位的非常降落，如自校核洪水位降落、降落至死水位以下、大流量快速泄空等；

（4）正常运用条件遭遇地震。

非常运用条件Ⅱ系指以上非常运用条件(1)—(3)再遭遇地震的情况。

上表为1984年水电部颁布的《碾压土石坝设计规范》(SDJ218—84)中的边坡容许安全系数表。表中除注明者外，均适用于瑞典圆弧法。对Ⅰ、Ⅱ级的中、高土石坝以及一些复杂的情况，应同时采用毕肖甫法或其它更严格的方法(如普遍条分法等)进行计算。此时安全系数的容许值，应比表中所规定的值略微提高10%左右。对于Ⅰ级土石坝在正常使用条件下，安全系数不得小于1.5。