并矢张量旋转

设定

为一个并矢张量：

。

是一个二维空间的 90°旋转算子(rotation operator) 。它可以从左边点积一个向量来产生一个旋转：

；

或以矩阵表达，

。

一个一般的二维旋转并矢张量，会产生

角度反时针方向的旋转，表达为

；

其中，

是二维的单位并矢张量。

并矢张量量子力学

设

是量子力学中所有的角动量本征态所张成的希尔伯特空间（囊括了所有可能的总角动量量子数，

，

，

，

），则

。当我们要考虑角动量耦合的时候，就会遇到态矢量的并矢张量

，而且时常把它记作

或

等等。任取一些复数（但是其中只能有有限个非零），则

就是一个并矢张量。不妨把这个并矢张量记作

，则它和

的缩并就是

，

。

在这其中，量子力学中最广为人知的就是通过CG矢量耦合系 数(Clebsch-Gordan coefficients) 所组合出来的张量。当然，在角动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关李群及其李代数的表示的另外一个话题，请参看李群的表示(Lie group representation) 及李代数的表示(Lie algebra representation) ，在这里就不再深入探讨了。

实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一个常见的例子：由一维谐振子的态矢量所构成的并矢张量可以用来描述二维谐振子系统。

并矢张量经典力学

三维欧几里得空间上的并矢张量的例子非常多，例如转动惯量、应力张量、应变等等。这些例子实际上就是并矢张量这个概念的最初原型。