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牛顿迭代法牛顿迭代公式

2022/07/16213 作者:佚名
导读:设 是 的根,选取 作为 的初始近似值,过点 做曲线 的切线 , ,则 与 轴交点的横坐标 ,称 为 的一次近似值。过点 做曲线 的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 ,称 为r的二次近似值。重复以上过程,得 的近似值序列,其中, 称为 的 次近似值,上式称为牛顿迭代公式。 用牛顿迭代法解非线性方程,是把非线性方程 线性化的一种近似方法。把 在点 的某邻域内展开成泰勒级数 ,取其线性部分(即泰勒展

的根,选取
作为
的初始近似值,过点
做曲线
的切线
,则
轴交点的横坐标
,称
的一次近似值。过点
做曲线
的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标
,称
为r的二次近似值。重复以上过程,得
的近似值序列,其中,
称为
次近似值,上式称为牛顿迭代公式。

用牛顿迭代法解非线性方程,是把非线性方程

线性化的一种近似方法。把
在点
的某邻域内展开成泰勒级数
,取其线性部分(即泰勒展开的前两项),并令其等于0,即
,以此作为非线性方程
的近似方程,若
,则其解为
, 这样,得到牛顿迭代法的一个迭代关系式:

已经证明,如果是连续的,并且待求的零点是孤立的,那么在零点周围存在一个区域,只要初始值位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式,指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况,需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

*文章为作者独立观点,不代表造价通立场,除来源是“造价通”外。
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