在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列

然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限宽的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠’，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的带宽小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度

模拟信号xn(t)的傅里叶变换对为

X(jΩ)={-∞, ∞}x(t)*exp^-jΩt dt

x（t）=1/2π{-∞, ∞} X(JΩ)*e^jΩt dΩ

用DFT方法计算这对变换对的方法如下：

（a）对xn(t)以T为间隔进行采样，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于

t→nT,dt→T, {-∞, ∞}→∑n={-∞, ∞}

因此得到

X(jΩ)≈∑n={-∞, ∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T

x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω

（b）将序列x(n)= xn(t)截断成包含有N个抽样点的有限长序列

X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T

由于时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为fs=1/T

（c）为了数值计算，频域上也要抽样，即在频域的一个周期中取N个样点，fs=NF0,每个样点间隔为F0，频域抽样使频域的积分式变成求和式，而在时域就得到原来已经截断的离散时间序列的周期延拓，时间周期为T0=1/F0。因此有

Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞, ∞} dΩ→∑n={-∞, ∞}Ω0

T0=1/F0=N/fs=NT

Ω0=2ΠF0

Ω0T=Ω0/fs=2π/N

X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT