如果系统是线性的，性能指标泛函是状态变量和控制变量的二次型函数的积分，并且由状态变量构成线性状态反馈系统，则这样的最优控制称为线性二次最优控制。以下介绍的是线性二次型最优控制的基本知识。首先介绍了二次性能指标，然后讨论了调节器问题。

线性二次控制二次型性能指标

二次型性能指标的一般形式如下

式中

• Q(t)一一nxn维半正定的状态加权矩阵;

• R(t)一一rxr维正定的控制加权矩阵;

• Qo一一nxn维半正定的终端加权矩阵。

在工程实际中，Q(t)和R(t)常取对角阵。

下面对性能指标中各项的物理意义作逐一解析。

被积函数中第一项

，若x表示误差矢量，那么

表示误差的平方。由此可见，是用以衡量误差x大小的代价函数，x越大，也就越大。Q(t)通常是对角线矩阵，对角线上的元素qii，分别表示相对应误差分量xi的重视程度，越加被重视的误差分量，希望它越小，相应地，其加权系数qii就应取得越大，如果对误差在动态过程中不同时刻有不同的强调时，那么，相应的qii就应取成时变的。

被积函数中第二项

，表示动态过程中对控制的约束或要求，如

果把u看成电压或电流的话，那么Lu与功率成正比，而

表示在

区间内消耗的能量，因此，Lu是衡量控制功率大小的代价函数。

式中第二项突出了对终端误差的要求，叫做终端代价函数。例如在宇航的交会问题中，由于要求两个飞行体终态完全一致，因此，必须加上这一项，以体现tf时误差足够的小，至于Qo ， R(t)的加权意义和Q(t)相仿。

如果最优控制的目的是使J →min，则其实际意义在于用不大的控制，来保持较小的误差，从而达到能量和误差综合指标的最优的目的。

线性二次控制状态调节器问题

状态调节器的任务是，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍然接近于平衡状态。在研究这类问题时通常把初始状态矢量看成扰动，而把零状态取做平衡状态。于是调节器问题就变为寻找最优控制规律“，在有限的时间区间[fto } tf」内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能指标泛函取极值。

设线性时变系统的状态空间表述为

• x, u, y一一分别为n, r, m维矢量;

• A(t)一一hxh维系统矩阵;

• B(t)一一hxr维输入矩阵;

• C(t)一一mxh维输出矩阵;

性能指标泛函如图5所示

下面给出状态调节器的解最优控制器为

最优性能指标为

式中P(t)满足下面的Riccati矩阵微分方程

边界条件

2100433B