回旋线最本质的特点就是

为了确定上式的正负号，需要对曲率的正负号取值做个约定

缓和曲线曲率符号

数学上曲率的定义为

，即曲率是前进方位角T随弧长l的变化率。

在

的情况下，若

则k取正值，若

则k取负值。

下图分四种情况，对曲率的正负号取法进行了说明：

曲率半径是曲率的倒数，其符号与曲率一致。

缓和曲线曲率变化率

公式

中，参数A无法反映出曲率随弧长增大，到底是增大还是减小？为此引入常量a，它满足下式

a就是曲率变化率，它可能是正数，也可能是负数。

a与A的关系满足公式

为了说明a的符号，以及它与A的关系，请见下图

在测量坐标系下K0 000处的曲率为-1/100(左转为负)，K0 150处的曲率为1/50（右转为正）。可知：

曲率变化率

参数

在数学坐标系下K0 000处的曲率为1/100(左转为正)，K0 150处的曲率为-1/50（右转为负）。可知：

曲率变化率

参数

缓和曲线微分方程通解

求解微分方程

可得

曲率k随桩号L变化的函数为

。当

时

前进方向T随桩号L变化的函数为

。当

时

坐标随桩号L变化的函数为（用到了复数）：

当

时

特别的，当

时

缓和曲线微分方程特解

当

时，令

，则

这个特解与通解相比，简化了不少。它的含义其实就是在曲率为零的地方建立坐标系。如下图所示，在直缓点建立了坐标系：

x轴是回旋线的切线，其正方向是桩号增加方向；y轴是回旋线的法线，在x轴的左边就是数学坐标系，在x轴的右边就是测量坐标系。

从原点开始沿回旋线行走距离

，到达点P，其坐标为(x，y)。

点 P 处的切线与轴夹角为

，称其为切线角，也是点 P 处的前进方位角。

原点与点 P 的连线叫弦，其长度为c，也就是弦长。

原点到点 P 的方位角为

，也就是偏角，也叫弦切角。

点 P 处，切线与弦线的夹角为

从原点开始沿回旋线行走距离

，到达缓圆点HY，即回旋线的长度为

圆曲线的半径为R

在缓圆点处达到最大值

接下来，计算各个参数：

曲率变化率

参数

曲率

曲率半径

切线角

最大切线角

坐标

弦长的计算公式如下：

弦切角的计算公式如下：

注意：

亦即弦切角近似的等于切线角的三分之一。

缓和曲线要素

回旋线的曲线要素计算公式如下：

缓和曲线道路正算

回旋曲线段，根据桩号 L，距中 Z，计算前进方向 T 及坐标 x，y的公式如下：

上式需要一个起算点，即需要知道桩号

处的

。也可以从曲率为零的点开始起算，根据

可知：当

时曲率为零。

是回旋线上任意一点的桩号和曲率。

距中 Z 的正方向是前进方向 T 加上90°，因此：

在数学坐标系下，距中 Z 左正右负，即在回旋线沿桩号增加方向右侧取负值；

在测量坐标系下，距中 Z 左负右正，即在回旋线沿桩号增加方向左侧取负值。