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事实上，黎曼ζ函数在偶数上的取值是容易求得的，在奇数上的取值则远未有一般性成果。这个常数以数学家罗杰·阿培里命名，因为后者在1978年证明了它是一个无理数。这个结论被称为阿培里定理。最初的证明很长，而且晦涩难懂，幸好不久后发现了更为简洁的证明，只需要用到勒让德多项式。现在还不能确定阿培里常数是否是超越数。
近来的研究表明，黎曼ζ函数在无穷多个奇数上的取值都是无理数，并且ζ(5)、ζ(7)、ζ(9)和ζ(11)之中至少有一个是无理数。
