测地线定义1

设M为光滑流形，γ:[a,b]→M为光滑曲线，γ称为测地线，若满足

测地线定义2

设

类似地球这样的物体并非由于称为引力的力使之沿着弯曲轨道运动，而是它沿着弯曲空间中最接近于直线的称之为测地线的轨迹运动。例如，地球的表面是一弯曲的二维空间。地球上的测地线称为大圆，是两点之间最近的路径。由于测地线是两个机场之间的最短程，这正是领航员叫飞行员飞行的航线。在广义相对论中，物体总是沿着四维时空的测地线走。尽管如此，在我们的三维空间看起来它是沿着弯曲的途径（这正如同看一架在非常多山的地面上空飞行的飞机。虽然它沿着三维空间的直线飞，在二维的地面上它的影子却是沿着一条弯曲的路径）。

测地线短程线

如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面 的测地线。 过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。 在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为短程线。

测地线测地线效应

光线经过一个大质量天体附近时，受其引力作用（或者说进入了该天体附近的弯曲空间）， 路线会发生偏转，称为“测地线效应”。

距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于C，等于C，大于C的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地线。所以，如果不受到引力以外其他力的作用，物体将在类时或类光测地线上运动（因为没有物体的速度能超过光速）

例如，地球这样的物体并非收到称作引力的力的作用而沿着弯曲轨道运动；相反，他们之所以沿着弯曲轨道运动，是因为在弯曲空间中，他们遵循着一条最接近直线的路径运动，这个路径称作测地线。用专业术语来说，测地线的定义就是相邻两点之间最短（或最长） 的路径。

测地线概述

也称作测地线进动（Geodetic Effect或Geodetic Precession）是指在广义相对论预言下引力场的时空曲率对处于其中的具有自旋角动量的测试质量的运动状态所产生的影响，这种影响造成了测试质量的自旋角动量在引力场内沿测地线的进动。这种效应在今天成为了广义相对论的一种实验验证方法，并且已经由美国国家航空航天局于2004年发射的科学探测卫星“引力探测器B”在观测中证实。

测地线解释

由于广义相对论本身是一种几何理论，所有的引力效应都可以用时空曲率来解释，测地线效应也不例外。不过，这里自旋角动量的进动也可以部分地从广义相对论的替代理论之一——引力磁性来理解。

从引力磁性的观点来看，测地线效应首先来源于轨道-自旋耦合作用。在引力探测器B的观测中，这是引力探测器B中的陀螺仪的自旋和位于轨道中心的地球的质量流的相互作用。本质上这完全可以和电磁理论中的托马斯进动做类比。这种相互作用所导致的进动在全部的测地线进动中起到三分之一的贡献。

另外的三分之二贡献不能用引力磁性来解释，只能认为来自于时空曲率。简单来说，平直时空中沿轨道运动的自旋角动量方向会随着引力场造成的时空弯曲而倾斜。这一点其实并不难于理解：垂直于一个平面的矢量在平面发生弯曲后定然会改变方向。根据推算，引力探测器B的绕地轨道周长由于地球引力场的影响会比不考虑引力场时的周长缩短1.1英寸（约合2.8厘米），这个例子在引力探测器B的研究中经常被称作“丢失的一英寸”。在引力探测器B的位于642千米高空的极轨道上，广义相对论的理论预言由于自旋-轨道耦合和时空曲率而产生的轨道平面上的测地线效应总和为每年进动6.606角秒（约合0.0018度）。这对于弱引力场中相对论效应来说已经是一个相当显著的影响了（作为同为引力探测器B的观测任务之一的地球引力场的参考系拖拽要比测地线效应弱170倍）。引力探测器B的观测结果首先在2007年4月举行的美国物理学会四月年会上进行了快报，其观测结果与理论误差小于1%。

测地线束与共轭点理论的假设与推导

在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考虑的测地线束局部正比于某个梯度场， 或者说垂直于某个超曲面， 则称该线束是超曲面垂直(hypersurface orthogonal) 的。 可以证明， 对于这样的测地线束来说， 涡旋张量 ωab 为零， 从而 Raychaudhuri 方程可以简化为：

dθ/dτ = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab

由于 σabσab 总是非负的， 因此从这个方程中我们可以得到：

dθ/dτ ≤ -RabVaVb - (1/3)θ2

如果进一步假定强能量条件成立， 即 RabVaVb 处处非负， 则上述不等式可以进一步简化为：

dθ/dτ ≤ - (1/3)θ2

对这个不等式进行积分可得：

θ-1 ≥ θ0-1 (1/3)(τ-τ0)

其中 θ0=θ(τ0)。

测地线束与共轭点推论

从这个不等式我们可以得到一个重要的推论， 那就是倘若 θ0<0， 即线束在 τ=τ0 时出现汇聚效应， 则 θ 会在有限固有时间 τ-τ0≤3/|θ0| 内趋于负无穷。 可以证明， 这意味着测地线束在该处汇聚为一点， 或者说测地偏离矢量场 - 也称为 Jacobi 场 - 在该处为零。

上面这些结果都是针对类时测地线的。 不过可以证明， 除了一些不影响定性结果的差异 (比如 Raychaudhuri 方程中的数值因子 1/3 因垂直子空间维数的改变而变成 1/2， 固有时间 τ 变成仿射参数 λ， 等) 外， 类光测地线也具有类似的性质。 类光测地线所满足的一般性条件为： 每条类光测地线上至少有一个点使得 k[eRa]bc[dkf]kbkc ≠ 0。 这个条件被称为类光一般性条件 (null generic condition)。

从物理意义上讲， 每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 意味着每条类时测地线都至少会在一个时空点上遇到由物质分布或引力波所造成的某种测地偏离效应。 这一条件 - 称为类时一般性条件(timelike generic condition) - 在理论上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率张量与测地线切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所违反。 但对于具有现实物理意义的情形来说， 由于物质及引力波的分布往往足够弥散及随机， 类时一般性条件被认为是得到满足的。