根据变分学中关于求多个未知函数极值的原理,在未知函数连续且具有连续导数的条件下有如下尤拉方程式:以下是对(5)式的推导求解过程.在此推导过程中,为了说明方便,有如下假设:a.__梯级水电站间均为间断式衔接;b._基于电力系统中长期调度,不考虑电站间水流流达时间问题;c.基于电力系统中长期调度,各时段水头与流量互不影响.取分别表示梯级第座水电站的工作流量和天然入库流量(或区间流量.则:由可得:则:其中,表示虚拟火电厂微增率,表示水电站能效系数;从(8)式可知,梯级系统中电站蓄水量的变化会影响本电站和其下游电站的出力;将(7)和(8)代入(5)式即:整理可得:用,分别表示虚拟火电厂和第座水电厂的相对增率,则系统中个水电站最优调度线满足等相对增率原则:对此微分方程组的积分求解,从原则上看,可以求得系统中各水电站水库的最优调度过程,使得系统的耗煤量最小.但是,由于蕴含在此微分方程中的天然流量过程线;水电站动力设备及其水库的动力特性;火电厂的经济特性和电力系统负荷等,都难以用简单的解析式表示出来,而且即使近似表示出来,那么得到的方程结构也将十分复杂而无法求解.因此,需要对此结果进行分析,推求易求解的等价方程.由上述可知:令:,表示第水库的蓄水量,即,则上式可做如下变换:表示水库天然(或区间)入库流量.由(13)可知,在系统梯级各水电站当前时刻天然入库流量和系统负荷已知的情况下,合理安排各电站的,满足系统的的动力平衡,即可使电力系统实现经济调度.如此,就将原问题转化为方程组的求解问题.在有S个梯级水库的电力系统,将有S个待求参量Qr,根据式(13),可得(S-1)个代数方程,再由电力系统动力平衡方程如(3)表达式,即可组成由S个方程组组成的,包含S个未知参量的方程组,解此方程组,即可求得任意时刻系统各电站最优的出力分配.由上述(13)式可知,其具有复杂的方程结构,求解解析解将十分困难.在实际应用中,只能尽量在各种约束的条件下,尽量满足此优化准则.

电力系统运行最基本的要求:可靠性,电能质量标准,经济性等.通常的电力系统运行最优保证供电可靠性和满足电能质量标准要求的前提下,使经济指标达到最优.火电:不宜担负变动幅度较大的负荷,宜在基荷运行,否则会带来附加的能量损失.水电:运行特性灵活,良好的厂间水力补偿协调作用.宜于担负调蜂,调频以及系统事故备用任务.系统动能经济效益的提高在很大程度上取决于水电站(群)运行工况的最优化;合理,充分的利用水库中的水量进行发电,可以减少系统中火电厂的总燃料消耗量.混合电力系统运行最优规划可描述为:整个电力系统由一定数量的火电厂和水电厂组成,其中含有梯级水电厂;水电站和火电厂共同承担规定的负荷;各水电站计算期初,末时刻水库存水量确定;通过合理分配负荷在各电站之间的分配,使得计算时期内电力系统总耗煤量最小:

把系统中所有火电厂等同于一虚拟的火电厂,其耗煤率为规定负荷在所有火电厂之间最优分配而确定.因此,上述目标函数可以改写为:其中:在任何时刻要满足电力系统动力平衡条件:对于水电站,任意时刻的出力取决于其水头和流量,或决定与水库的存水量和工作流量:,而工作流量决定于水库天然来水量和水库存水量的变化,因此,,表明某时刻水电站的出力大小,可用该时刻水库存水量和此存水量对时间的的导数确定.则,目标函数即为:水电站水库存水过程线一方面唯一决定了各水电站的计算时期的出力过程,另一方面又唯一决定了整个电力系统的运行方式和总耗煤量.因此,原求电力系统经济调度问题,转换为求泛函的极小值问题.所求的未知函数为系统中各水库存水过程线,相应于使计算期内系统耗煤量最小的水库存水量过程线,称为最优调度线.运行方式的最优准则为由于调度线组成的泛函的极小.

按周期其有：超短期计划，即自动发电控制（AGC）,短期发电计划，即日或周的计划；中期发电计划，即月至年的计划与修正；长期计划，即数年至数十年的计划，包括电源发展规划和网络发展规划等。

在实际水电站调度计算过程中,是把计算期划分为若干个时段进行的,对中长期调度,一般时段为月或旬,各种输入资料,如径流,系统负荷等,是以时段为单位的平均值,所计算的各电站的动能参数,也是以时段为单位的平均值.因此,根据电力系统中长期运行调度的特点,寻求合理可行的求解策略,使得系统在等相对增率原则指导下,寻求系统在满足各种约束的条件下最优的调度方案,无疑具有重要的意义.在(13)式中,对每水电站而言,表达式的分母和分子的第一项是确定的,而分子的后两项是待求参量.有表达式子结构可知,若电站蓄水状态,则分母部分增大,对应值减小;若电站处于供水状态,则分母部分减小,对应值增大.因此,在应用等相对微增率的过程中,可按如下过程安排系统水电站供蓄水:各水电站按天然入库流量,计算相对增率:将上述各按大小排序,找最小的和最大的,对应的电站编号分别为;取水库的工作流量为决策变量,按一定的控制步长,增大电站的供水量和增大电站的蓄水量,同时要满足系统电站的各种约束条件;按式(13)重新计算各电站,并重复b步骤;直到各电站在满足各约束条件下趋于最大程度的一致.得到系统最优调度决策.a.按照上述原则,对当前时段而言,可合理安排各水电站供,蓄水决策,使时段末满足等相对增率原则;b.对实际调度过程而言,计算期是划分为若干时段的进行的,因此时段的初末能保持各电站相对增率一致,本时段内各时刻可视为近似一致.

如果电力系统中没有火电厂,或电力系统的负荷已经在水,火电站间分开(电力市场模式下),水电站系统最优运行仍遵守等相对增率原则.即满足式(13).此时问题可以表述为:已知系统初始库水位和入库径流过程,在满足梯级电站各种约束条件下,求各水电站的出力过程,在梯级电站保证出力最大的条件下发电量最大:

对于独立的水电站梯级系统,仍然可以按上述有变分原则推求的等相对增率原则安排其运行,使得水电站群系统在满足可靠性要求的前提下运行效益最好.但由于水电系统有起自身的特点,如一个水文年可以分为汛期和枯水期.在讯期,当水电站系统天然出力大于系统负荷要求,则要安排系统中某些水库蓄水;在枯水期,当水电站系统天然出力不能满足系统负荷要求,则需要安排系统中某些水库供水.这就产生了如何合理安排水库群系统供,蓄水的问题.对此问题做如下分析:1.供水情况在水电站梯级系统中,当各电站按天然流量出力不能满足电力系统动力平衡要求时,水电站就必须供水.此时,若由某电站供水,理论上则将因上游水位降低而造成后期时段来水不蓄能量的损失.不蓄能量损失的大小取决于天然流量及其分布情况,水库动力特性和水电站动力设备特性.为发出同样的附加电能,各水电站的不蓄能量损失是不同的,于是便产生了应由哪个水电站供水的问题.下面以有n个水电站的组成的梯级系统进行说明.设在时刻这部分附加出力是由自上游起之第级水库单独供水取得,则系统所得附加电能为:

式中为从水库取用的水量,由于这部分水量流经下游水电站时同时发出能量,所以相应的总水头为().设库址处自时刻开始到供水期末天然来水总量为,上游各级水库时刻的有效蓄水量分别为,,水量将通过水头增量增发电能.表示第级水库死库容.这是因为在梯级水库中,上游各库之蓄水量在供水期末将会全部泄放下来.则由于第级水库水头降低引起的能量损失为:则供发单位电能所引起的能量损失为:在满足系统要求的条件下,使梯级系统电能损失最小,无疑是我们追求的目标.因此,供发单位电能所引起的能量损失最小的水库供水是有利的,系统中K值小的水库供水有利.2.蓄水情况水电站系统中各电站按天然流量出力超过电力系统所需要的负荷时,需要蓄水以满足系统的动力平衡要求.设在时刻这部分附加出力是由自上游起之第级水库蓄水满足,则系统减发能量为:由于水库蓄水而导致水头增加,将使系统后期来水的不蓄电能增加.设库址处自时刻开始到供水期末天然来水总量为,上游各级水库时刻蓄水量分别为,,这些水量将通过水头增量增发电能.其中表示第级水库的最大可蓄水量.这是因为,库址处天然来水总量要满足蓄水期末蓄满以上各库库容,而剩余水量供发电之用.因此,提高水头致蓄水期末系统可增发电能为:单位增加电能表达式为:在满足系统要求的条件下,使梯级系统增发电能越多越好.因此,在蓄水期,系统中K值大的水库先蓄水有利.上述方法可称为K判别式法,根据判别式法原则,在蓄水期,由K值大的蓄水有利,在供水期,由K值小的水库供水有利.基于和等相对增率法相同的原因,在实际调度中,并不求方程组的解析解,而是采用和等相对增率法相同的求解过程,来安排纯水电系统的优化运行安排.从以上可以看出,从数学角度用变分原理求得的等相对增率原则和由实际物理角度求得的K判别式原则,有其很大的相通之处.3.判别K法的优点与不足不足:①在推导判别式时(以供水情况为例,蓄水期的情况类似),在计算天然不蓄能量损失时,认为这部分损失值决定于由该时刻到供水期总的天然来水量和由于该时段供水而产生的落差值即但是这种说法是存在问题的,因为本时段供水后水头损失了,而下个计算时段或以后的计算时段,水库根据最优运行要求,可能又蓄水增加了水头,此时,自此时刻起至供水期末的所有天然来水量就并不都因而造成损失.②严格按照判别式规则运行,可能对水电站水库正常运行带来负面的影响.需要采用相关策略对此方法进行改进(水电站水库常规调度图).优点:与其他的从数学优化(DP,POA等)角度出发建立数学模型,指导水电站水库运行方法相比,该方法物理概念明确(水电站水库蓄能特性),应用方便;在具体使用时候,配合运行工作者的实际经验可给出近似正确结果.2100433B

经济调度控制（EDC）用以确定最经济的发电调度以满足给定的负荷水平。

经济调度控制（EDC）用以确定最经济的发电调度以满足给定的负荷水平。2100433B

将电力系统经济特性和安全特性转化为数学表达式。

（1）火电机组模型。锅炉、汽轮机和发电机合称为机组，其经济特性主要是耗热量-出力曲线、耗热微增率-出力曲线和起动耗热量一停机时间曲线。有时将耗热量转换为燃料量或费用。

（2）网络模型。经典经济调度按简化网络模型(B系数)用各电厂出力计算网损及其徽增率.而现代电力系统经济调度应用完整的网络模型直接计算各支路潮流和网损。

（3）水电机组模型。水轮机(有时包括引水管路)和发电机合称为机组，其经济特性是各工作水头下的耗水量-出力曲线和耗水微增率-出力曲线，在变水头水电站调度中往往将出力化为耗水量和水头(或存水量)的函数。

（4）水电站水库模型。主要是上游水库的水位-库容曲线，抽水蓄能电站还要表达下游水库的水位-库容曲线，梯级调度进一步要表达各级水库之间的联系。

(5)负荷模型。经典经济调度应用系统总负荷，现代经济调度应用各母线负荷。当电能不足的情况下将各负荷分为可中断、可控制和不可中断、不可控制等几类。

(6)料供应模型。表示燃料产地、运输、贮存、混合及发电各环节中的费用和限制 。

电力系统经济调度是指在满足安全和电能质量的前提下，合理利用能源和设备，以最低的发电成本或燃料费用保证对用户可靠地供电的一种调度方法。电力系统经济调度的发展可划分为两个阶段，20世纪60年代以前为经典经济调度，60年代以后为现代经济调度。

20世纪初提出了并列运行机组间负荷分配问题，早期所提是按机组效率和经济负荷点的原则，实际并未达到最优。30年代初期提出按等微增率分配负荷，至1934年从理论上证明了它是最优准则 。

输电损失对经济负荷分配有一定的影响，但在没有计算机的年代涉及到网络计算是一个困难问题。40年代初提出了用各发电厂出力表示的网损公式极大地减少了网损及其微增率的计算50年代初提出了发电与输电的协调方程式。

水火电联合调度也是最早提出的经济调度问题之一，直到50年代初才提出定水头水电站的水火电协调方程式，50年代末期进一步提出了变水头水电站的水火电协调方程式。

等微增率、发电抽电协调(网损修正)和水火电协调奠定了经济调度的理论与实践的基础，但由于当时受到计算工具的限制(曾使用过负荷经济分配计算机和模拟计算机)难以考虑网络上的安全限制，这一时期称为经典经济调度阶段。60年代以后，数字计算机和最优化技术引入电力系统。经济调度随之发展到一个新阶段.

最有代表性的是20世纪60年代初期提出的最优潮流，它有两个概念性发展，即统一考虑经济性与安全性和统一考虑有功功率与无功功率的调度，这是一个典型的非线性规划问题，计算上的困难妨碍了实用化进程，80年代中期最优潮流计算技术已趋成熟，实用进程仍然缓俊，这一时期主要实用的是基于简化棋型和线性规划技术的有功安全约束调度。

动态规划在60年代初期推动了水火电经济调度的进展，在60年代中期较好地解决了机组经济组合的理论与实用问题70年代大系统分解协调理论进一步完善了水火电调度理论，80年代初期采用网络流规划在解决变水头、梯级和抽水蓄能电站的优化调度问题中.显示出很大的优越性。

80年代末电力系统经济调度，可归纳为经济调度模型、短期调度计划、长期运行计划和实时发电控制等四个方面 。