孤立波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤立波存在的必要条件。色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。

起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤立波进行研究的结果表明，两个孤立波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变，并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒。孤立波还具有质量特征，甚至在外力作用下其运动还服从牛顿第二定律。因此，完全可以把孤立波当做原子或分子那样的粒子看待，人们将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子，有时又简称为孤子。

孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣。人们还发展了一套研究孤立子的系统方法-反散射方法或逆问题方法。找出了一批非线性方程的普遍解法，并通过计算机实验和解析方法相结合，发现很多非线性偏微分方程都存在孤立子解，这些纯粹数学上的孤立子，很快在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学实验中被发现。更令人振奋的是，这些似乎是纯数学的发现，不仅为实验所证实，而且还找到了实际应用。例如光纤通讯中传输信息的低强度光脉冲由于色散变形，不仅信息传输量低、质量差，而且须在线路上每隔一定距离加设波形重复器，花费很大，70年代从理论上首先发现"光学孤子"可以克服这些缺点，并可大大提高信息传输量，目前这一成果已进入实用阶段。

对孤立子的更深入研究发现，孤立子不仅像原子或分子，而且更像基本粒子，这表现在: 1.孤立子不仅具有质量、能量和动量特征，而且还具有电荷特征。 2.孤立子有的像光子、电子、质子那样，稳定而不衰变，有的像中子、πo介子、μ子那样可以衰变，具有衰变性不稳定性。 3.和基本粒子都存在其反粒子一样，孤立子也都存在其相应的反孤立子。 4.对应于运动方程的种种对称性，孤立子也存在相应的守恒定律，如动量守恒、能量守恒和"粒子数"守恒等等。

孤立子原本是波，但却具有粒子的特性，而物质粒子原本是粒子，但却具有波的特性。两者原本风马牛不相及，但却具有共同的属性-"波粒二象性"。人们曾确信，孤立子和物质粒子之间一定存在某种必然联系，并预料孤立子必将在基本粒子研究中起到独特的作用。但是，由于孤立子解只存在于非线性微分方程中，而非线性微分方程没有一般解法,孤立子解很难找到,尤其对于多维孤立子的研究目前还只是刚刚起步，并且对多维孤立子的研究更加困难，人们对基本粒子的了解远多于孤立子，因而，借用孤立子理论还难以对基本粒子作出完备的描述。

但是情况也有例外，人们对于速度低于光速的物质粒子了解甚多，而对速度高于光速的物质粒子-快子却知之甚少。人们通过对狭义相对论的进一步研究发现，速度原本就超过光速的快子的存在并不违背狭义相对论，但到目前人们对快子的特性并不清楚，也不知道为什么不能发现快子。而孤立子理论却得到了快子解，在本书第二章"虚子论"中，我们将借助这种快子解，分析研究快子的基本特性，并说明它们为什么不能被发现。我们还将进一步证明，快子在地球上是普遍存在的，并在人体生命现象中起着极其重要的作用。

等离子体中，更有常见的宽广频谱(Δk≈k)的波动。对于总能量比粒子的热运动动能小得多的弱波情况，在60~70年代初发展了一套利用微扰论方法处理非线性相互作用的理论。假设各分波的相角具有随机性分布，对波的相角可以作统计平均，得到一套等离子体弱湍流动力方程组。

这是一套描写粒子(电子、离子)准粒子(等离子体子、声子、光子……)彼此之间通过二体碰撞发生相互作用的动力论方程组，具有福克-普朗克方程形式。

三波共振条件ω1=ω2+ω3k1=k2+k3可以看作是准粒子在碰撞过程中的能量、动量守恒。 60年代以来,作了许多实验检验这套线性-微扰理论。大体上说,这套理论在一些情况下能够解释一些现象,但是应用范围是很局限的。

在周围环境条件作用下，等离子体中发生复杂的运动过程,诸如能量的吸收和发射,各种运动形态之间的转化，各种输运过程(粒子扩散、电流传导、能量传输、……)等。在这些过程中，如果粒子之间的碰撞起主要作用，通常叫正常过程(例如正常扩散、正常电导、……)，如果其有集体运动性质的波动起主导作用，就叫作反常过程。这个名词习惯上的沿用，实际上在等离子体中，常常遇到的是反常输运。

自从50年代末期以来，对于基本上处于比较均匀、平稳的状态，只有微弱扰动的等离子体，从符拉索夫方程或电磁流体力学方程出发，作了系统的研究。这是一些可以把非线性项作为微扰处理的简单情况。

在这种情况下，作为零级近似，先不考虑非线性项，方程退化为线性方程组。线性方程组具有一系列特征振荡，这就是等离子体中的波。等离子体由许多物理量描述(电子、离子密度、速度、电场、磁场)，在振荡过程中，按照这些物理量相对运动状态的不同，可以把等离子体中的波分为多种不同类型的分支。在没有外加磁场的等离子体中，

①离子不动，电子作纵向振荡的等离子体波;

②离子不动，电磁场和电子作横向振荡的电磁波;

③离子和电子一起振荡的离子声波。在有外加磁场的等离子体中，波的类型更多达数十种。等离子体中波的类型的丰富是所有物理学分支中少见的。

要形成振荡，一个必不可少的条件是对于偏离平衡分布的微小扰动要有恢复力。常见的是一般气体中的声波，恢复力是压力。对于一般气体，粒子之间碰撞频率比声波振荡频率大得多，在声波振荡过程中，碰撞使媒质处于局部热动平衡状态。高密度点压力大，压力排开高密度，形成振荡。对于等离子体振荡，粒子分布不处于局部热动平衡状态，恢复力一般不是压力，而是平均自洽场产生的电磁力。电子在作等离子体振荡时，在电子密度加大的地点，由于静电斥力，电子彼此排开;而在密度稀疏的地点，离子的正电荷吸引周围电子，这种静电力是形成等离子体振荡的恢复力。离子声波的情况也类似。所以离子声波的振荡机制是不同于普通声波的。

等离子体中各种类型波不同于普通声波的一个表现是具有朗道阻尼。这是一种典型的波与粒子无规运动之间的相互作用。

等离子体是电子和离子处在自由状态下的多粒子体系，完整的描述是多粒子分布函数D(r1…rn;p1，…，pN;t)在6N 维相空间中随时间的变化。BBGKY〔H.H.博戈留博夫(1946)、M.玻恩和 H.S.格林(1949)、J.G.柯克伍德(1946)、J.伊翁(1935)〕证明了在g<1情况下，对D所满足的方程按g的方次作展开，在g0近似下,它简化为(单)粒子分布函数f(r,p,t)的方程，f·d3r·d3p表示在相空间小体积元中粒子数

这个方程称为符拉索夫方程,其中E、B是平均自洽电磁场，满足麦克斯韦方程组

是等离子体非平衡态的统计理论。等离子体是自然界存在十分广泛的一种物质状态。它很容易受外界干扰,经常处于非热动平衡状态。对它的现象、规律的研究比较严格的是等离子体动力论。

等离子体是由自由电子、各种自由离子组成的，它们之间的相互作用是库仑力。库仑力是一种长程力，许多带电粒子之间可以同时产生长程的相互作用，因此在等离子体中，除了粒子之间库仑碰撞以外，还要用平均自洽电磁场描述这种长程相互作用。它表现为电磁场和粒子的集体波动。它的特征时间是等离子体频率ωp，粒子之间碰撞的特征时间是库仑碰撞频率v。二者之比

(λD是等离子体的德拜长度，n是粒子数密度)。g叫等离子体参量，它的倒数表示德拜球中的粒子数。g 是一个决定等离子体性质的重要参量。

g<1表示由平均自洽场形成的波动在等离子体运动变化过程中占重要地位。自然界中很多的等离子体都属于这一种情况。

等离子体的密度范围很宽。对于极其稀薄的等离子体，粒子间的碰撞和集体效应可以忽略，可采用单粒子轨道理论研究等离子体在磁场中的运动。对于稠密等离子体，粒子间的碰撞起主要作用，研究这种等离子体在磁场中的运动有两种方法。一是统计力学方法，即所谓等离子体动力论，它从微观出发，用统计方法研究等离子体在磁场中的宏观运动;二是连续介质力学方法即磁流体力学，把等离子体当作连续介质来研究它在磁场中的运动。

磁流体力学是在非导电流体力学的基础上，研究导电流体中流场和磁场 的相互作用。进行这种研究必须对经典流体力学加以修正，以便得到磁流体力学基本方程组。

磁流体力学基本方程组具有非线性且包含方程个数又多，所以求解困难。但在实际问题中往往不需要求最一般形式的方程组的解，而只需求某一特殊问题的方程组的解。一般应用量纲分析和相似律求得表征一个物理问题的相似准数，并简化方程，即可得到有实用价值的解。

磁流体力学相似准数有雷诺数、磁雷诺数、哈特曼数、马赫数、磁马赫数、磁力数、相互作用数等。求解简化后的方程组不外是分析法和数值法。利用计算机技术和计算流体力学方法可以求解较复杂的问题。