对称矩阵定义是:A=A(A的转置) ，对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i).
反对称矩阵定义是:A= - A(A的转置前加负号) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等，符号相反。 于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A(i,i)=0， 在非偶数域中，有A(i,i)=0，
即反对称矩阵对角线元素为零( 此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于1+1=0，反对称矩阵的对角线元素不一定为0)。
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若A为反对称矩阵:A的阶数为奇数，则A的行列式为0;A的阶数为偶数，则根据具体情况计算。
如果某向量A点乘向量B等于零，即:AB=0，
则可以找到某反对称矩阵R，替换向量A，表达成RB=0，
因为，对于向量B=[rx,ry,rz]'和反对称矩阵R= [0,-rz ry; rz,0,-rx;-ry,rx,0]，
我们可以计算，恒有RB=0，
因此，这个时候，可以用矩阵乘以向量的方式表达向量相乘。
这种表达在极线几何中必然涉及。
注:
转置定义:一个矩阵行列互换就变成它的转置矩阵。
对称矩阵定义是:A=A(A的转置) ，对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i).
反对称矩阵定义是:A= - A(A的转置前加负号) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等，符号相反。 于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A(i,i)=0， 在非偶数域中，有A(i,i)=0，
即反对称矩阵对角线元素为零( 此性质只在非偶数域中成立。在偶数域中，由于1+1=0，反对称矩阵的对角线元素不一定为0)。
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实反对称矩阵(real antisymmetric matrix)一种反对称矩阵.
定义1 设A是一个n阶方阵,如果AT=-A,则称A为反对称矩阵.
性质1 任何一个n阶矩阵A,均可唯一表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,即A=B+C,其中BT=B,CT=-C。
性质 2 若 A 是反对称矩阵,则其主对角线上的元素全为零.
证明 由定义 1 可知成立.
性质 3 设 A , B 为 n 阶反对称矩阵, k 为常数 , l 为正整数 ,则:
(1) A ±B , kA , AB - BA 为反对称矩阵.
(2) AB 为对称矩阵的充要条件为 AB = BA .
(3)当 l 为奇数时 , A l 为反对称矩阵,当 l 为偶数时 , A l 为对称矩阵.
证明 利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可.
性质 4 设 A 是任一 n 阶矩阵 ,则 A - A T 必为反对称矩阵.
证明 因为( A - A T) T = A T - ( A T) T = A T - A = - ( A - A T) ,所以 A - A T 为反对称矩阵.
性质 5 设 A 是奇数阶反对称矩阵 ,则| A| = 0.
证明 因为| A| = | A T| = | - A| = - | A| ,所以| A| = 0.
性质 6 设 A 是 n 阶反对称矩阵, B 是 n 阶对称矩阵,则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵.
证明 由定义直接验证即可.
性质 7 设 B 为 n 阶实矩阵 ,则 B 为反对称矩阵的充要条件为对任意 n 维列向量 X ,均 有 X TB X = 0.
证明 必要性:因为 B 为反对称矩阵,所以 X TB X = X T ( - B T) X = - ( X TB X) T = X TB X ,从而 X TB X = 0. 充分性 :令 B = ( bij) n ×n ,取 X = ei + ej ,其中 ei 表示第 i 个分量是 1 ,其余分量为 0 的 n元列向量. 则 X TB X = ( eT i + eT j ) B ( ei + ej) = eT i Bei + eT i Bej + eT j Bei + eT j Bej = eT i Bej + eT j Bei = bij + bji = 0. 所以 bij = - bji , i , j = 1 ,2 , ⋯, n. 从而 B 为反对称矩阵.
性质 8 设 A 为 n 阶反对称矩阵, A*为其伴随矩阵,则 n 为偶数时, A*为反对称矩阵;n 为奇数时 , A*为对称矩阵.
性质 9 设 A 为 n 阶可逆反对称矩阵 ,则 n 为偶数 ,且 A - 1也是反对称矩阵.
实反对称矩阵概述