在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列

然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限宽的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠’，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的带宽小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度

模拟信号xn(t)的傅里叶变换对为

X(jΩ)={-∞, ∞}x(t)*exp^-jΩt dt

x（t）=1/2π{-∞, ∞} X(JΩ)*e^jΩt dΩ

用DFT方法计算这对变换对的方法如下：

（a）对xn(t)以T为间隔进行采样，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于

t→nT,dt→T, {-∞, ∞}→∑n={-∞, ∞}

因此得到

X(jΩ)≈∑n={-∞, ∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T

x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω

（b）将序列x(n)= xn(t)截断成包含有N个抽样点的有限长序列

X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T

由于时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为fs=1/T

（c）为了数值计算，频域上也要抽样，即在频域的一个周期中取N个样点，fs=NF0,每个样点间隔为F0，频域抽样使频域的积分式变成求和式，而在时域就得到原来已经截断的离散时间序列的周期延拓，时间周期为T0=1/F0。因此有

Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞, ∞} dΩ→∑n={-∞, ∞}Ω0

T0=1/F0=N/fs=NT

Ω0=2ΠF0

Ω0T=Ω0/fs=2π/N

X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT

用 DFT/FFT 对谐波间谐波分析一般是从时域和频域两个角度出发 , 来考虑如何减少检测误差 。分析方法大体分为三类 : 时域方法 、频域方法和时频交替的方法 。

1 频域方法

在频域上现在主要的方法是加窗插值 、补零峰值点搜索法或者线性调频 Z 变换 CZT( Chirp ZT ransfo rm)法 。文献提出频域插值法 ,根据谐波峰值点附近的两根谱线以及矩形窗在频域本身的函数表达式插值求得谐波的参数值 。 这里没有考虑各次谐波之间频谱干扰 ,负频率部分对正频率部分频谱的影响 , 只是解决了栅栏效应 。文献提出对采样信号加窗后 再进行频 域插值 , 采用 的是简单 的H anning 窗( 2 项余弦窗),这样之后 ,各分量旁瓣之间的影响减小了 , 测量精度有所提高 。既然加窗可减小泄漏 ,在各频率成分的主瓣相互没有影响的前提下 ,余弦窗的项数越多 , 窗函数得到的效果一般会更好 。文献提出对采样信号加不同的窗后再进行插值分析 ,最后发现 Blackman-H arris 窗效果最理想 。文献利用 Black-H arris 窗进行电力系统谐波分析 , 由于频率偏移很难求得 , 虽然可先通过文献求取高次多项式 , 然后再来求反函数解得 , 但是这样比较费时间 ,满足不了实时性的要求 ;根据多项余弦窗主瓣比较平滑的特点 ,文中提出采用线性分段插值的思想建立插值查找表进一步简化了插值过程 。 但是在选取不同的窗函数以及需要满足不同的精度要求时 , 都必须重新计算查找表 ,设计过程比较繁琐 ; 且当精度要求提高时 , 查找表数据的存储量也将成倍地增加 。文献也是利用Black-H arris 窗进行电力系统谐波分析 ,但是它根据谐波分布的特性 , 采用与两条谱线的比值来求 ,提高了测量精度 。 实际上无法预先确定信号中各个成分的强弱之分 。 取哪两根谱线做比值应根据实际情况来选择 ,当信号中的频率成分较复杂时 , 该改进效果不明显 。文献提出一种基于两根谱线的加权平均来修正幅值的双峰谱线修正算法 ,利用距谐波频点最近的两根离散频谱幅值的加权平均估计出待求谐波的幅值 ; 同时 , 利用多项式逼近方法获得了对应于多种窗函数的频率和幅值修正公式 ,这些改进能够进一步降低泄漏和噪声干扰 ,提高谐波分析的准确性 , 且计算较为简单 。文献在上述插值算法的基础上提出了多点频域插值算法 ,通过频点泄漏相互抵消的思想进一步降低了泄漏带来的影响 , 测量精度提高了将近十倍 。文献在非同步采样情况下 , 分析了频谱泄漏的机理 , 在导出信号实际频谱和泄漏频谱之间关系的基础上 ,提出一种利用相位差校正信号频率来恢复实际频谱的改进算法 ,使得谐波分析的计算精度得到较大程度提高 ,但是该方法在信号中有间谐波成分的时候误差就较大 。早在 1992 年亚特兰大电能质量会议上 ,文献就提出采用加窗插值来检测间谐波参数 。 文献提出将加窗插值应用于间谐波检测 ,推导出了基于矩形窗和 H anning 窗的频率 、幅值 、相位的显式估计公式 。仿真结果显示其有较高的精度 。 文献提出采用 Rife -Vincent( Ш )窗插值 。在相 同的采 样窗 口长 度下 , 精 度要 高于H anning 窗 。 文献对不同的窗函数及不同的改进方法做了综合比较 。为了进一步提高检测精度 ,文献提出了基于 CZT 双谱线插值的检测方法 ,关键是在不增加采样长度的情况下 , 获得准确间谐波信号频率分布估计值 。

2 时域方法

文献提出了在已知信号基频的情况下对原始采样信号进行拉格朗日插值 ,得到近似的同步化序列 。首先该方法需要知道信号的频率 ,且当信号频率偏差过大时会发生插值点的跑位 ,插值公式这时会产生很大误差 。对于间谐波而言 ,纯粹从时域上来满足同步比较困难 ,因为间谐波的成分是不确定或者说是无法预知的 。

不断增加序列数进行迭代计算 ,最终得到近似同步化的序列 。当迭代的序列很长却还不收敛时 ,提出“Second-best” 窗的概念 , 最后选取相关系数最大的那组序列作为同步序列 。 但是这种方法存在的问题是收敛序列的长度不确定 ,使收敛信号的长度不能保证能够采用 FFT , 而只能采用 DFT ,加大了运算量 。 因此 ,此方法只适于离线的间谐波分析 。文献考虑到谐波对间谐波的频谱干扰比较严重 ; 或者说谐波与间谐波之间的频谱干扰要比间谐波之间的频谱干扰较为严重这个事实提出一种基于时域平均 TDA( time domain averaging)和差分滤波器 DF( differential filte r)的谐波间谐波检测方法 。

3 时域频域结合方法

对于重新采样提出了根据基频对序列进行内插和抽取的方法 ,这样只是把离散谱线对准估计的实际频率( 相当于对准了估计的主瓣峰值处) ,仍然没有考虑或者计及频谱泄漏 。文献提出一种谐波间谐波检测的自动同步采样器 , 通过 CZT 计算得到实际频率再对采样频率进行不断调整 ,使误差达到最小 。间谐波成分在频域上容易被含量较大的谐波所淹没 , 含量较小的间谐波容易被含量较大的间谐波所淹没 , 这是解决间谐波检测的出发点 。文献在时域上通过 TDA 解决了第一部分问题 , 把谐波检测和间谐波检测分开进行 。文献亦提出对谐波和间谐波检测分步( tw o -stag e)进行 ; 把谐波从时域中消除后再对剩余信号做 FFT 检测出间谐波成分 。 这两种方法都必须采样序列对于谐波而言是同步的 。非同步情况下引起的测量误差特别是间谐波的误差非常大 , 但现有的技术手段(同步锁相环)基本满足同步采样要求 , 因此同步采样条件下的参数精确检测是值得研究的 。

有文献通过把谐波从间谐波中滤除的方法来抑制频谱干扰 , 并没有考虑到间谐波之间的频谱干扰 。文献提出在非同步采样下如何检测间谐波的方法 , 并且考虑了间谐波之间的干扰 。思路是 : 谐波成分滤除后 ,采用从大至小逐次滤除最大间谐波成分的思想来检测各个间谐波分量 , 可大大抑制间谐波间的频谱干扰 。

DFT的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上DFT是从DFS引申出来的,它们的本质是一致的,因此DTS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性

(1)从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(ejω)的等间隔采样。由于X(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列

(2)从DFT与DFS之间的关系考虑。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，当不限定N时，具有周期性

(3)从WN来考虑，当不限定N时，具有周期性