功函数概述

很多基于不同物理效应的技术被发展出来来测量样品的电学功函数。可以区分出两类功函数测量的试验方法：绝对测量和相对测量。

第一类方法利用样品由光吸收(光发射)所引发的电子发射，通过高温(热发射)、或者电场(场发射)，以及使用电子隧穿效应。

所有相对测量方法利用了样品与参照电极的接触势差。实验上，是使用二极管的阴极电流或者样品与参照物的间由人工改变的两者间电容导致的位移电流等方法(开尔文探测、开尔文探测力显微镜)来测量的。

功函数光发射

光电发射光谱学(PES)是基于外光电效应的光谱学技术术语。对于紫外光电子光谱学(UPS)，固体样品的表面被用紫外(UV)光激发然后发射电子的动能得到分析。因为紫外光是能量hν低于100eV的电磁辐射，它能够只抓出价电子。因为固体中电子逃逸深度的限制紫外光电子光谱对表面非常敏感，因为信息深度的范围为2 – 3个单层。同时测量原理限制了光电发射光谱学被用于UHV情形。得到的光谱通过提供态密度、占据态及功函数等信息反应了样品电子结构。

功函数热发射

推迟二极管方法是最简单和最古老的的测量功函数的方法之一。它是源自发射器电子的热发射。收集到样品的电子电流密度J取决于样品的功函数φ且可通过Richardson–Dushman方程J=ATe计算，其中A，Richardson常数，是具体的材料常数。电流密度随温度迅速增长而随功函数指数下降。改变功函数可以简单通过在样品与电子发射器之间施加一个推迟势V来决定；上述方程中φ被e(Φ V)取代。在恒定电流下测到的推迟势差与功函数的改变相等，假设发射器的功函数与温度不变。

也可以使用Richardson–Dushman方程通过样品的温度改变直接决定功函数。重写方程得ln(J/T) =ln(A) − φkT。描绘ln(J/T)和1 /T得到的曲线的斜率 − φ /k允许决定样品的功函数。

功函数简述

功函数的大小通常大概是金属自由原子电离能的二分之一。金属的功函数表示为一个起始能量等于费米能级的电子，由金属内部逸出到真空中所需要的最小能量。功函数的大小标志着电子在金属中束缚的强弱，功函数越大，电子越不容易离开金属。金属的功函数约为几个电子伏特。铯的功函最低，为2.14ev；铂的最高，为5.65ev。功函数的值与表面状况有关，随着原子序数的递增，功函数也呈现周期性变化。在半导体中，导带底和价带顶一般都比金属最小电子逸出能低。要使电子从半导体逸出，也必须给它以相应的能量。与金属不同，半导体的功函和掺杂浓度有关。

可以简单的理解为物体拥有或者抓获电子的能力。

功函数金属相关

单位:电子伏特,eV

功函数效应

金属的功函数W与它的费米能级密切相关但两者并不相等。这是因为真实世界中的固体具有表面效应：真实世界的固体并不是电子和离子的无限延伸重复排满整个布拉菲格子的每一个原胞。没有任何一者能仅仅位于一系列布拉菲格点在固体占据且充满了非扭曲电荷分布基至所有原胞的几何区域V。的确，那些原胞中靠近表面的电荷分布将会与理想无限固体相比被显著的扭曲，导致一个有效表面偶极子分布，或者，有些时候同时有表面偶极子分布和表面电荷分布。

能够证明如果我们定义功函数为把电子从固体中立即移出到一点所需的最小能量，但是表面电荷分布的效应能够忽略，仅仅留下表面偶极子分布。如果定义带来表面两端势能差的有效表面偶极子为。且定义从不考虑表面扭曲效应的有限固体计算出的为费米能，当按惯例位于的势为零。那么，正确的功函数公式为：

其中是负的，表明电子在固体中富集。

光电功函数

功函数是从某种金属释放电子所必须给予的最小能量。在光电效应中如果一个拥有能量比功函数大的光子被照射到金属上，则光电发射将会发生。任何超出的能量将以动能形式给予电子。

光电功函数为

φ =hf0， 其中h是普朗克常数而f0是能产生光电发射光子的最小(阈值)频率。当电子获得能量时，它从一个能级以「量子跃迁」的方式跳到另一个能级。这一过程称为电子的激发，其中较高能级称为「激发态」而较低能级称作「基态」。

功函数热功函

功函数在热发射理论中也同等重要。这里电子从热而非光子中获得能量。在这种情况下，即电子从加热的充满负电的真空管灯丝逃逸的情况下，功函数可被称作热功函。钨是真空管中常见的金属元素，它的功函数大约是4.5eV。

热发射要求有灯丝加热电流(if)，来保持2000-2700K的温度。一旦达到灯丝电流的饱和态，则灯丝电流的小改变不再影响电子束电流。电子枪被提供一个非常靠近克服功函数(W)所需势的灯丝电流(Goldstein, 2003)。热功函取决于晶体取向而且趋向于对开放晶格的金属更小，对于原子紧密堆积的金属更大。范围大概是1.5–6 eV。某种程度上稠密晶面比开放晶格金属更高。

功函数应用

在电子学里功函数对设计肖特基二极管或发光二极管中金属-半导体结以及真空管非常重要.

最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σxx、σyy、τxy满足下列方程：

根据方程(1),可将应力分量用一个函数φ（x，y）表示为：

φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体,φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：

ΔΔφ=0，　 (3)

式中Δ是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σxx、σyy、τxy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。

在弹性柱体的扭转问题中,剪应力分量τxz、τyz满足下列平衡方程：

据此可将τxz、τyz用一个函数Ψ(x，y)表示为：

Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体,Ψ满足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，　(6)

式中G为材料的剪切模量（见材料的力学性能）;θ为单位长度的扭转角。

在求解弹性力学的空间问题时，也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量，但好处不多。所以，一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体，位移分量u1、u2、u3满足下列平衡方程：

式中Δ是空间中的拉普拉斯算符；ν为材料的泊松比；G为剪切模量；fi为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为：

式中ψ1、ψ2、ψ3、

函数ψ1、ψ2、ψ3、

方程(7)还有另一种形式的解，即

式中Fi满足下列方程：

函数F1、F2、F3称为布森涅斯克-索米利亚纳－伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题，公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x3轴),记r为所考虑点到z轴的距离,并记位移在r、z轴上的投影分别为u、w。若┃1=┃2=0，可取F1=F2=0，F3=F(r，z)。这样由公式(10)可得到：

式中,即柱坐标中的拉普拉斯算符；F满足下列方程：

公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。 在求解轴对称问题时，经常利用公式(12)。

在f1=f2=0的情况下,即使不是轴对称问题,方程(7)的解也可用一组位移函数F、f表示如下：

式中F、f满足下列方程：

这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。