矩阵正定
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵(Positive Definite)。
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设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵(Positive Definite)。
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矩阵函数和函数矩阵
矩阵函数和函数矩阵
矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵 ，简单地说就是多个一般函数的阵列， 包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量 t 的实函数矩阵 ( )( ) ( )ij m nX t x t ×= ，所有分量函数 ( )ijx t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) . t t ij ijt t d d X t x t X d x d dx dx τ τ τ τ ? ? ? ??? ???= =? ??? ?? ?? ? ?? ?∫ ∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ( )( ) ( ) ( ) ( )d d dX t Y t X t Y t dt dt dt + = + ； （2） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
2、半正定矩阵
定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有X*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。
3、A∈Mn(K)是半正定矩阵的充分条件是:A的所有主子式大于或等于零。
非正定矩阵，与正定矩阵相反，也是矩阵的一种。
1、P半正定，那么对于一个非0矩阵F，一定有F^T×P×F 也是半正定
对于任意的非零向量x，x^T×(F^T×P×F)×x=(Fx)^T×P×(Fx).
若Fx=0，则x^T×(F^T×P×F)×x=0
若Fx≠0，则x^T×(F^T×P×F)×x≥0
所以，x^T×(F^T×P×F)×x≥0恒成立，所以，F^T×P×F半正定.
2、P正定，那么对于一个非0矩阵F，不一定F^T×P×F 也是正定的
对于任意的非零向量x，x^T×(F^T×P×F)×x=(Fx)^T×P×(Fx).
若Fx=0，则x^T×(F^T×P×F)×x=0
若Fx≠0，则x^T×(F^T×P×F)×x>0
所以，x^T×(F^T×P×F)×x>0不恒成立，所以，F^T×P×F不一定正定，只能是半正定.
如果加上条件“F可逆”，则F^T×P×F一定正定.2100433B
定义 一个n× n的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz > 0，则称M为正定矩阵，其中z* 表示z的转置矩阵。当z*Mz > 0弱化为z*Mz≥0时，称M是半正定矩阵由于 M是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小.
与正定矩阵相对应，一个n× n的埃尔米特矩阵M是负定矩阵,当且仅当对非零的复向量z都有:z*Mz < 0.
具有对称矩阵A的二次型f=x'Ax
如果对任何非零向量x，都有x'Ax≥0(或x'Ax≤0)成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半正定(半负定)二次项，矩阵A称为半正定矩阵(半负定矩阵)
半正定矩阵判定一个矩阵半正定