空间数据的拓扑关系对数据处理和空间分析具有重要的意义，因为：

（1）根据拓扑关系，不需要利用坐标或距离，可以确定一种空间实体相对于另一种空间实体的位置关系。拓扑关系能清楚地反应实体之间的逻辑结构关系，它比集合数据具有更大的稳定性，不随地图投影而变化。

（2）利用拓扑关系有利于空间要素的查询，例如，某条铁路通过那些地区，某县与那些县领接。又如，分析河流能为那些地区的居民提供水源，某些湖泊周围的土地类型及生物栖息环境作出评价等。

（3）可以根据拓扑关系重建地理实体。例如，根据弧段构建多边形，实现道路的选取，进行最佳的路径的选择等。2100433B

GIS传统的基于矢量数据结构的结点-弧段-多边形，用于描述地理实体之间的连通性、邻接性和区域性。这种拓扑关系难以直接描述空间上虽相邻但并不相连的离散地物之间的空间关系。

定义1 一个群G称为拓扑群，如果它同时也是一个豪斯多夫空间，并且G上的乘法运算与求逆运算

定义2 如果G和H是两个拓扑群，设G×H表示两个群的直积，带上积拓扑，则G×H也是一个拓扑群 。

定义3 设G是一个拓扑群，称G如同一个同胚群而作用于拓扑空间X，是指G的每个元素g都诱导一个同胚

(1)

(2) 若

(3) 映射

为建筑设计的平面配置，一般可以分为两类：

1.相邻关系（adjacency）， 即两个空间是否相邻。

2.连通关系（connectivity），亦即两个空间相邻以外是否相通，比如以门窗将原本相邻但各自封闭的两空间打通。

进行基本空间配置时，通常有一组最基本的空间关系，称为“泡泡图（Bubbles Diagram）”，用一个个的圈圈来表达各个空间的位置关系，足以描述任何其他复杂的空间关系，将某些所需的关系表达成空间关系。换言之，泡泡图是基本的建筑架构，概念式的房屋规划，空间初步定位，可养成图释思考（graphic thinking）的习惯，学会做草图的技巧，将空间设计的初步概念融于简易的图示中。

在建筑计划的步骤中，最重要的就是分析建筑物的机能，再以不同的图面表现以表达建筑物内部空间所必须满足的机能关系。例如“空间矩阵表（Space Matrix）”可将所有空间和其他空间的相互关系（邻近的程度和活动密切的程度）以不同的圆点大小显示其密切性，再以泡泡图将所需的空间做出一基本但没有方向性的布局。这个时候由于没有任何环境、气候、美感和哲理上的考虑，因此设计者能专心的把最基本而重要的内部机能关系分析清楚，并提出合理的方案。

度量空间亦称距离空间。一种拓扑空间，其上的拓扑由距离决定。设R是一个非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函数，满足如下条件：

1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;

2.ρ(x，y)=ρ(y，x);

3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z) ρ(y，z);

则称ρ(x，y)为两点x，y之间的距离，R按距离ρ成为度量空间或距离空间，记为(R，ρ)。设A是R的子集，则A按R中的距离ρ也成为度量空间，称为R的(度量)子空间。如果把上述距离的条件1改为ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，则称ρ为R上的拟距离。当ρ(x，y)=0时，记x～y.～是R上的一个等价关系，记商集(即等价类全体)为D=R/～，在D上作二元函数ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，则ρ～是D上的距离，而(D，ρ～)称为R按拟距离ρ导出的商(度量)空间。

度量空间(R，ρ)中的子集A称为有界的，如果对x₀∈R，存在常数M，使ρ(x₀，x)≤M对A中的一切x成立。设x₀∈R，r>0，则称集合{x|x∈R，ρ(x，x₀) 0为中心，r为半径的开球，或x ₀的r邻域，记为O(x ₀，r).又设A⊂R，若对任何x∈A，存在x的某个邻域O(x，r)⊂A，则A称为开集;而称开集的补集为闭集。R中包含子集A的最小闭集就称为A的闭包。

度量空间是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年引进的，它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间，也是泛函分析的基础之一。

拓扑稳定性同胚

数学上指一对一的一种对应。在集合论(set theory)中指两组成员的一种属性，一组中的任何一个成员能同另一组中的一个成员配对，反之亦然。在拓扑学(topology)中，两个空间中的一个能不撕破、不粘连地变形成另一个，这两个空间就是同胚的。例如，球体的表面和立方体的表面就是同胚的。

设E与F为两个拓扑空间。称从E到F上的双射为从E到F上的同胚，如果这一映射能建立一个从E之全体开集的集合到F之全体开集的集合上的双射。

为使从E到F上的双射是同胚，其充分必要条件是： 这个双射是双连续的。

从一紧空间到另一紧空间上的任一连续双射是同胚。

拓扑稳定性实例——扩张映射

撒布(Shub，M.)在1969年最先研究得到的一类结构稳定的半动力系统。最简单的扩张映射的例子是复平面上由z↦z ²定义的单位圆周的自映射。一般定义是：设M是紧致黎曼流形，f∈C ¹(M，M)，如果存在M上的黎曼度量〈·，·〉和实数τ>1，使得：

则称f为扩张映射，这里|·|是由〈·，·〉引出的范数。扩张映射是结构稳定的，并且具有有理的ζ函数.因此，扩张映射是对微分同胚理论研究的推广。在紧流形上扩张映射的存在对流形本身需要加以很强的限制，其欧拉示性数必须是零，其通用复迭空间必须微分同胚于R，其基本群必须是无扭的等。例如，在二维紧曲面中，只有环面和克莱因瓶才可以具有扩张映射。