度量空间亦称距离空间。一种拓扑空间，其上的拓扑由距离决定。设R是一个非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函数，满足如下条件：

1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;

2.ρ(x，y)=ρ(y，x);

3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z) ρ(y，z);

则称ρ(x，y)为两点x，y之间的距离，R按距离ρ成为度量空间或距离空间，记为(R，ρ)。设A是R的子集，则A按R中的距离ρ也成为度量空间，称为R的(度量)子空间。如果把上述距离的条件1改为ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，则称ρ为R上的拟距离。当ρ(x，y)=0时，记x～y.～是R上的一个等价关系，记商集(即等价类全体)为D=R/～，在D上作二元函数ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，则ρ～是D上的距离，而(D，ρ～)称为R按拟距离ρ导出的商(度量)空间。

度量空间(R，ρ)中的子集A称为有界的，如果对x₀∈R，存在常数M，使ρ(x₀，x)≤M对A中的一切x成立。设x₀∈R，r>0，则称集合{x|x∈R，ρ(x，x₀) 0为中心，r为半径的开球，或x ₀的r邻域，记为O(x ₀，r).又设A⊂R，若对任何x∈A，存在x的某个邻域O(x，r)⊂A，则A称为开集;而称开集的补集为闭集。R中包含子集A的最小闭集就称为A的闭包。

度量空间是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年引进的，它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间，也是泛函分析的基础之一。

拓扑稳定性同胚

数学上指一对一的一种对应。在集合论(set theory)中指两组成员的一种属性，一组中的任何一个成员能同另一组中的一个成员配对，反之亦然。在拓扑学(topology)中，两个空间中的一个能不撕破、不粘连地变形成另一个，这两个空间就是同胚的。例如，球体的表面和立方体的表面就是同胚的。

设E与F为两个拓扑空间。称从E到F上的双射为从E到F上的同胚，如果这一映射能建立一个从E之全体开集的集合到F之全体开集的集合上的双射。

为使从E到F上的双射是同胚，其充分必要条件是： 这个双射是双连续的。

从一紧空间到另一紧空间上的任一连续双射是同胚。

拓扑稳定性实例——扩张映射

撒布(Shub，M.)在1969年最先研究得到的一类结构稳定的半动力系统。最简单的扩张映射的例子是复平面上由z↦z ²定义的单位圆周的自映射。一般定义是：设M是紧致黎曼流形，f∈C ¹(M，M)，如果存在M上的黎曼度量〈·，·〉和实数τ>1，使得：

则称f为扩张映射，这里|·|是由〈·，·〉引出的范数。扩张映射是结构稳定的，并且具有有理的ζ函数.因此，扩张映射是对微分同胚理论研究的推广。在紧流形上扩张映射的存在对流形本身需要加以很强的限制，其欧拉示性数必须是零，其通用复迭空间必须微分同胚于R，其基本群必须是无扭的等。例如，在二维紧曲面中，只有环面和克莱因瓶才可以具有扩张映射。

一般是指作用在系统上的扰动排除后，系统能否恢复原状、或以怎样的精度恢复原状的性能。它是控制理论的一个极其重要的问题。在经典控制理论中，一般涉及到的是定常的线性系统，有关这种系统的稳定性的判别方法主要有： 罗斯—胡尔维茨准则、奈奎斯特判据、波德图、尼柯尔图和根轨迹法等。在现代控制理论中，对线性系统和非线性系统的稳定性的研究，主要是李雅普诺夫的稳定性理论。李雅普诺夫根据系统的输出 (响应) 是否有界来定义系统的稳定性，并区分了三种情况： (1) 稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，如果其响应的幅值是有界的。(2) 渐近稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，如果其响应能够最终回到初始状态。(3)不稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，其响应的幅值不是有界的。经典控制理论所研究的稳定性只限于第二种情况渐近稳定，而把另两种情况都看作是不稳定的。因而李雅普诺夫的稳定性概念更具一般性。李雅普诺夫用两种方法分析系统的稳定性，第一种方法是： 用近似极数表示非线性函数，然后用近似方法求解非线性方程，最后根据解的性质，确定其系统的稳定性; 第二种方法是： 不必求解方程，而用李雅普诺夫函数的纯量函数来判别系统是否稳定，并分析系统的响应。由于第二种方法具有不必求解方程的特点，因而也称直接法，而称第一种方法为间接法。由于许多非线性系统和时变系统的方程是难以求解的，又由于通过计算机可以找到所需的李雅普诺夫函数，还能找到系统的稳定区域，所以第二种方法在控制理论中得到广泛应用。稳定性对于社会经济系统极为重要，是经济学经常讨论的重要课题之一。探讨经济系统的稳定性，对于了解经济系统的动态发展规律、预测经济发展方向以及分析经济系统的结构等，都有着重要的现实意义。

拓扑稳定性(topological stability)亦称半结构稳定性或半稳定性。

通常是描述系统在C小扰动下的一个稳定性概念。设(M，d)是紧致度量空间，f：M→M是同胚。若对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意同胚g：M→M，当d(f，g)≤δ时，存在连续满射h：M→M满足：

1.h°g=f°h，即上图可交换；

2.d(h，id_M)≤ε；

则称f是拓扑稳定的。

对度量空间上的连续流而言，其定义如下：设(M，d)是紧致度量空间，φ是M上的连续流。若对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意连续流ψ：R×M→M及任t∈(0，1]，当d(φ_t，ψ_t)≤δ时，存在连续满射h：M→M满足：

1.对任意x∈M，h把φ过x的轨道映到ψ过h(x)的轨道内；

2.d(h，id_M)≤ε；

则称φ是拓扑稳定的。

对于自映射情形，也可给出拓扑稳定性的类似定义。微分流形上的安诺索夫系统是拓扑稳定的；扩张映射是拓扑稳定的。对微分同胚来说，公理A和强横截条件蕴涵着拓扑稳定性。

由于时间反演对称性的存在，拓扑绝缘体可由取值于ℤ₂的不变量来分类，称为ℤ₂不变量。

ℤ₂不变量的物理意义为未配对的马约拉纳零模的存在性，即交叉的边缘态形成的锥形奇点。

ℤ₂不变量可视为动量空间上的普法夫线丛的斯蒂弗尔-惠特尼类。