最优化理论研究的是在众多的方案中哪种方案最优，以及怎样找出最优方案的问题。该理论发展至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等众多分支，其中线性规划与非线性规划是最优化理论的重要分支，也是最基本的部分。线性规划中普遍存在配对现象，对每个线性规划问题，都有另一个与其密切相关的线性规划问题存在，其中前者称为原问题，而后者即为它的对偶问题。

原问题与对偶问题是相对的，二者为同类型的规划，构成对偶规划的一般规则如下：

1. 若原问题是极大化问题，那么对偶问题就是极小化问题；若原问题是极小化问题，那么对偶问题就是极大化问题。

2. 在原问题与对偶问题中，约束右端向量与目标函数中系数恰好对换。

3. 对于极小化问题的“≥ ”型约束(极大化问题的“≤ ”型约束)，相应的对偶变量有非负限制；对于极小化问的“≤ ”型约束(极大化问题的“≥ ”型约束)，相应的对偶变量有非正限制；对于原问题的“=”型约束，相应的对偶变量无正负限制。

4. 对于极小化问题的具有非负限制的变量(极大化问题的具有非正限制的变量)，在其对偶中相应的约束为“≤ ”型不等式；对于极小化问题的具有非正限制的变量(极大化问题的具有非负限制的变量)，在其对偶问题中相应的约束为“≥ ”型不等式；对于原问题中无正负限制的变量，在其对偶问题中相应的约束为等式。

原问题：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需要A、B、C、D 四种不同的材料，按工艺资料规定，生产一单位甲乙产品需要各种材料数量及单位产品利润如表中所示。问：如何安排产品的生产计划，才能使企业获利最大"table_view" data-sort="sortDisabled">

产品设备

A

B

C

D

单位利润

甲产品

2

1

4

0

2

乙产品

2

2

0

4

3

现有材料数量

12

8

16

12

解：设企业生产甲产品为

目标函数：

约束条件：

对偶问题：如果另外一企业想将上述企业拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使第一个企业愿意放弃生产活动，出售资源？

解：设第i种资源单位增值价（售价=成本 增值）为

目标函数：

约束条件：

线性规划的原问题与对偶问题的对应关系决定了二者之间可通过一定规则相互转化。因此可将复杂的原问题转化成其对偶问题进行解决，从而简化线性规划问题。教师在教学中可以引导学生将运筹学知识点进行归纳总结，以加深理解，提高学习效率的观点。并以线性规划中原问题与对偶问题转化为例，探讨了转化规律的总结过程及其教学体会，为运筹学教学中对其它知识点的归纳总结提供了启示。

受自然条件和人为活动影响,草原生物资源、土地资源、水资源和生态环境劣化,导致生产力下降的现象或过程。草原退化活动主要包括：草原沙化、草原盐渍化以及草原污染等。草原退化的自然原因主要包括气候变化和水文动态变化,如降水减少、风沙活动加强、地表水和地下水减少等。

草原退化的人为因素主要包括超载放牧、采樵伐木、不合理开发利用草原资源和土地资源以及采矿、修路等工程活动。草原退化的主要危害是：产草量下降,特别是优质草大量减少,杂草等劣质草比例增加,牧畜供养量下降；与此同时,风沙及沙尘暴等灾害加剧,对更广大地区产生危害。防治草原退化的基本途径和措施是合理开发草原地区的生物资源、土地资源、水资源,维持草畜平衡,保护草原生态环境。

草原退化是全球性的环境生态问题之一。在我国，20世纪60年代以来，草原生态系统普遍出现了草原退化现场，约有90%以上草原处于不同程度的退化之中。

导致草原退化的原因有自然的因素，如长期干旱，风蚀，水蚀，火灾，沙尘暴，鼠、虫害等。但主要的是人为因素，如过牧，滥垦，过伐等。由于长期的不合理利用甚至掠夺式利用，从草原不断带走大量的物质，得不到补偿，违背了生态系统中能量与物质平衡的基本原理，导致生态系统功能的紊乱、失调和衰退，使草原的生态与生产力不断下降。