我和平面几何的50年感情
——另类回忆录，朝花夕拾其乐融融！/6531刘卓
说来好笑，我和平面几何的50年感情，是从一道数学题卡壳开始的。那是1962年夏天的中考，数学试卷的最后一题是几何作图：已知一个直角三角形的一个直角边，另一直角边和斜边之和，求作这个直角三角形。当时我无论如何想不出来怎么做，绞尽脑汁，就是不知道怎么下手，只好坐在那里发呆，手心还有点冒汗。走出考场一问，原来十分简单。先用已知的直角边，另一直角边和斜边之和作一个过渡的直角三角形，再在这个直角三角形的斜边上作中垂线，交大直角边于一点，连接这一点和底边的顶点，即得所求的直角三角形。（见图1）
这事对我刺激很大，因为在这之前，好像还没有发生过有什么题完全不会做的（井底之蛙，不知道外面世界的深浅！）。追究起来，初中母校也没有什么可以责备的地方，因为那时候全国三年自然灾害时期，饭都吃不饱，处处讲究劳逸结合，各种课程当中，能够精简的就省略不讲了，连课本都是用回收纸印刷的，呈一种淡淡的灰黑色。我记得几何书就特别简单，一看就懂，没有复杂难做的题目。
进入高中以后就想，这样不行呀，万一今后高考出一道平面几何题，怎么办？于是在1962年冬天，咬咬牙，花9毛钱到交通路旧书店，淘到一本严济慈编的《几何证题法》。9毛钱当时可是一笔大钱，要知道香喷喷的烧饼才3分钱一个，大烧饼5分钱一个。并且手头只有唯一的这一本参考书，于是从头啃到尾，一字不漏，所有习题统统做光。学习几何最有效的方法就是做题，通过书里面各种各样的杂题，使你从不同的角度，对每个定理有了透彻的理解。所谓“熟读唐诗300首，不会吟诗也会吟”，慢慢的，我对做几何题，也有两刷子了。这里面还有一个难忘的回忆：做题的草稿纸极其稀缺。每学期开学的时候，只能从家里拿到1角4分钱，到长江日报的红旗大楼边门，在那里买1斤印刷厂的边角余料，当草稿纸，这1斤草稿纸数理化都要用，并且要一直用到本学期结束。所有的空白地方都要写满，舍不得浪费！
当时我们1班的男生，大部分坐在后排，偶尔偷偷的互相递纸条，求解数学难题。有一天，一位学友突然递给我一道题：求作一个三角形，使与已知三角形相似，并且3个顶点分别在3个同心圆的圆周上。大概用了二十来分钟，我就把做法写出来了。思路是：先画图，假设已经作出，这个题的关键点是同心圆的圆心，把圆心分别连接到三角形的3个顶点，关系就看出来了。因为这3条连线的长度分别是3个半径R1,R2,R3, 所以圆心到3个三角形顶点的距离之比分别是R1/R2, R2/R3, R3/R1，这样作法就出来了：对已知三角形ABC的两条边，作比值为R1/R2, R2/R3的两个阿氏圆，它们相交于P点，连接PA, PB, PC, 得到角1和角2，再以同心圆的圆心为顶点，画出角1和角2，它们的3条边与3个圆周交于D, E, F, 三角形DEF即为所求。（见图2）
做出来以后，我的心情好极了。这证明我也可以做难题，不比别人差。慢慢的，别人也会对你刮目相看了！后来我打听到，上面的题目，是上海市数学会编的《高中数学复习资料》里面的一道题，没有具体答案。（该书只有计算题才有答案。）自此以后，对几何题愈发勤奋起来，每天做，一步一步越来越投入，好像上了瘾。虽然高二，高三的课程内容和平面几何渐行渐远，越来越搭不上关系，但每天晚上临睡以前还是要看一，二页几何，放松一下子。几何图形的精美和纯粹的逻辑思维，令人陶醉。不过对于考试来讲，后来的高考没有出现过平面几何题，往后的一辈子，也没有用过什么复杂的几何图形。它实际上是个花瓶子，好看而不实用（工程技术中用途不大）。
1965年离开一中后，在军校军训、学习了一年，就开始搞文化大革命，到处都是大字报。但我对“造反”，还是“保皇”，始终没有什么兴趣。既不想关心“国家大事”，也不想“把无产阶级文化大革命进行到底”。好在学校图书馆那几年管理松懈，几乎无人问津。这样我就隔三差五的跑到书库里面，“窃”几本书，看完以后偷偷送回去，接着再“窃”几本。3年中间看了许多好书。至今还记得的，有郭沫若的《中国史稿》，商务印书馆编辑的《四角号码新词典》，日本长泽龟之助的《几何学词典》。其中《几何学词典》洋洋大观，有1寸半厚，1千多页，题目上万，全部分门别类，详列解法，并配精美图形。令你不得不对这位老先生肃然起敬。记得该书的译者叫薛德炯，吴载耀，他们在前言中说：（30年代的中国）“文艺小说，车载斗量，科学作品，寥若晨星”。这话我到现在都记得，因为它说出了中国社会的特点，切中时弊。当然到现在，文艺小说已经不看了，大家都玩手机，这在地铁里面是一道亮丽的风景线。
到了七、八十年代，比较好的几何书有香港秦元勲的几何学概论，该书用东亚人特有的简洁手法（不谈严谨），介绍平面几何中一些最重要定理的证明路径，特别适合业余爱好者的胃口。我国数学老前辈李儼先生的《近世几何学初编》，以及德国希尔伯特《直观几何》，从不同的视角，全方位地介绍平面几何在数学中的地位（和其他分支的关系），读来令人振奋。
这其中值得一提的是帕斯卡定理，叙述如下：圆内接六边形3双对边的交点共线。当我仔细看完证明以后，不禁拍案叫好，这个定理太漂亮了，你看，只要圆上有6个任意点，就可以形成3双对边，就有3个交点，这3点就一定在一条直线上！这是一个精确的函数关系：前提是圆（也包括椭圆），结论是3点共线。证明中间，4次使用同一个预备定理，并不复杂，关键要会看图。这个定理是帕斯卡300多年以前发现的，当时他才16岁，后来他终身未娶，只活了30多岁，晚年放弃科学，专心研究神学。这使我怀疑，真正的数学天才，都是上帝派他们下凡的，向人间泄漏了一些天机以后，又匆匆把他们召回天上。像伽罗华，阿贝尔都有类似的经历，都是英年早逝。与帕斯卡定理互为对称的，有布利安桑定理，也很漂亮：圆外切六边形3双顶点的连线共点。你看，只要把两个定理中间的“内接—外切”，“点—线”互换位置，句型不变，就变成了和它对偶的定理。这符合数学美的基本要求：简单，对称，精准。我个人认为，这两个定理是平面几何中间，最精致、最完美的定理。它把点、直线、圆的关系镶嵌得天衣无缝。（见图3）
2001年4月5日，武汉晚报第3版，刊登一则数学题的征解结果。它是当时的国家领导人访问澳门的时候，对中学生出的一道平面几何题：“任意五角星，分别作5个角的外接圆，得5个外接圆的5个交点，求証这5点共圆。”我在翻报纸的时候，看到这个题，觉得有些趣味。再仔细看了一下，想起它在法国数学家阿达玛的《几何学教程》中间出现过，赶紧拿书一翻，果然有，于是照抄以后，向武汉晚报投稿。结果在4月5日的征解结果里面，竟然有我的大名，是15个正确解答者之一，不过是排在最后一名。奖品是2支精装圆珠笔，尽管微乎其微，我还是很高兴。要知道，它是我这辈子学习平面几何唯一的物质奖励呀！（见图4和武汉晚报的照片）
等到2006年正式退休前后，因为无事可做，闲得慌，又看了两本比较好的几何书，一本是日本林鹤一先生所著《初等几何学作图不能问题》，（1935年版），另一本是美国约翰逊著《近代欧氏几何学》。特别前一本书，很值得一看。虽然文言文甚为拗口，并且许多数学名词的翻译与现代相差太远，但是内容十分精彩，可读性很高。除了我们熟悉的古典三大不可能问题（化圆为方，立方倍积，三等分角）以外，对所有仅用圆规直尺不可能作出的几何图形，分门别类进行了归纳和分析，上升到理论高度，使人不留悬念。最为精彩的是等分圆周这一章。我们在中学里已经知道怎么样3等分圆周，5等分圆周。再往上，7等分？11等分？13等分？……因为人的大脑有限，已经搞糊涂了，所以从古希腊到现在，没有人再前进一步。直到1777年高斯诞生，他在18岁时一举解决了这个问题，指出下一个可以等分的圆周，是17等分，并且以后在他的墓碑上面，画的就是一个正17边形。高斯证明，只有当边数为费马数时，（即2的2的n次方加1，像3，5，17，257，
65537…）正多边形才可能用圆规直尺作出来。
具体讲，有人根据他的理论，采用代数方法在单位圆上，对17边形每个顶点的值进行复数计算，最后用直尺圆规画出正17边形。数学史记载，后人作257边形，用了16页纸，再有人作65537边形，用了一皮箱纸！可见18、19世纪，人们对这个理论的痴迷及对高斯的崇拜。
2009年，我到德国旅游的时候，曾经专门驱车2个小时，到哥廷根大学，瞻仰高斯故居和他长期工作过的哥廷根天文台，他在那儿主持了一次历史上著名的大地测量，企图验证非欧几何学的基本结论：三角形的内角和不等于180度，但是失败了。同行的德国朋友说我是高斯的粉丝，我很高兴：“对呀，我就是高斯的粉丝！”
从遥远的东方，来了一个黄皮肤黑头发的人，瞻仰高斯。多么富有诗意！这说明中国的国力已经变得强大，普通老百姓也可以到欧洲来，瞻仰伟大的科学巨人！下面的照片是我在高斯的青铜像前留影，坐者是高斯，站立者是韦伯（物理学家）。
邓丽君有一首家喻户晓的歌曲：“……路边的野花不要采！”可我一辈子就喜欢不断的采集各种各样的野花野草，想方设法去沾花惹草。当然，它们是数学大花园里面的绚丽花卉、几何学的奇花异草，不是什么别的东西。大家不要想歪了！
把优美的几何题比做美丽的花朵，不是我的发明创造。北京师范大学的梁绍鸿先生，在1958年编写了一本中国的经典：《初等数学复习及研究（平面几何）》，今年再版印刷的时候，后人这样赞美它：“愿几何世界中的琼花瑶草迎风绽放，来点缀美丽芬芳的数学百花园。”
除此之外，学习几何对我还另有妙用：治病，催眠。人的一生，难免遇到各种各样的困境和挫折，导致情绪烦躁，郁闷。每到此时，我就习惯性的拿一本几何书，看他几页，正所谓“两耳不闻窗外事，闭门只读圣贤书”，用不了多长时间，血压自然下降，情绪慢慢平静下来，又能心平气和地看待周围的现实世界了。它的效果和散步或者打球差不多，甚至更好。有时候白天兴奋过度，晚上也很难入睡，这时候又拿几何题来看它几眼，不管会不会做，不会做更好，很快脑筋就进入迷糊状态，昏昏入睡。要是还睡不着，就在心中默念：“你这辈子一事无成，但是你努力了，你曾经奋斗过，你可以心安理得……”等等，诸如此类的话，能从心理上产生奇妙的催眠效果，马上身心放松，进入南柯梦乡，极少尝到失眠之苦。所以，各位可以看出，我毕生养成的这个优雅的嗜好：和平面几何有50年亲密接触，不仅有回报的，并且是很丰厚的回报。
（转自新浪博客）
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