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负定矩阵,是与正定矩阵相对而言的线性代数概念。
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矩阵函数和函数矩阵
矩阵函数求导 首先要区分两个概念:矩阵函数和函数矩阵 (1) 函数矩阵 ,简单地说就是多个一般函数的阵列, 包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上,没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量 t 的实函数矩阵 ( )( ) ( )ij m nX t x t ×= ,所有分量函数 ( )ijx t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) . t t ij ijt t d d X t x t X d x d dx dx τ τ τ τ ? ? ? ??? ???= =? ??? ?? ?? ? ?? ?∫ ∫ 函数矩阵的微分有以下性质: (1) ( )( ) ( ) ( ) ( )d d dX t Y t X t Y t dt dt dt + = + ; (2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1、对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
2、半正定矩阵
定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有X*A*X≥0,就称A为半正定矩阵。
3、A∈Mn(K)是半正定矩阵的充分条件是:A的所有主子式大于或等于零。
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:
设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x)为正定(半正定)二次型。
相应的,正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义为:
令A为 n 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x≠ 0都有 f(x)>0(≥0),则称A正定(半正定)矩阵;反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 f(x)<0(≤ 0), 则称A负定(半负定)矩阵。
例如,单位矩阵E 就是正定矩阵。
定义 一个n× n的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有z*Mz > 0,则称M为正定矩阵,其中z* 表示z的转置矩阵。当z*Mz > 0弱化为z*Mz≥0时,称M是半正定矩阵由于 M是埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的复向量z,z*Mz必然是实数,从而可以与0比较大小.
与正定矩阵相对应,一个n× n的埃尔米特矩阵M是负定矩阵,当且仅当对非零的复向量z都有:z*Mz < 0.
具有对称矩阵A的二次型f=x'Ax
如果对任何非零向量x,都有x'Ax≥0(或x'Ax≤0)成立,且有非零向量x0,使x0'Ax0=0,则称f为半正定(半负定)二次项,矩阵A称为半正定矩阵(半负定矩阵)