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强连通图:在有向图中, 若对于每一对顶点v1和v2, 都存在一条从v1到v2和从v2到v1的路径,则称此图是强连通图。
弱连通图:将有向图的所有的有向边替换为无向边,所得到的图称为原图的基图。如果一个有向图的基图是连通图,则有向图是弱连通图。
在图论中,连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中,若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径),则称vi和vj是连通的。如果 G 是有向图,那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。如果此图是有向图,则称为强连通图(注意:需要双向都有路径)。图的连通性是图的基本性质。
直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,
Low(u)=Min{DFN(u),Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)}
当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4像节点1的后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,不再访问6,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=4。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。 在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。
void tarjan(int i)
{
int j;
DFN=LOW=++Dindex;
instack=true;
Stap[++Stop]=i;
for (edge *e=V;e;e=e->next)
{
j=e->t;
if (!DFN[j])
{
tarjan(j);
if (LOW[j]<LOW)
LOW=LOW[j];
}
else if (instack[j] && DFN[j]<LOW)
LOW=DFN[j];
}
if (DFN==LOW)
{
Bcnt++;
do
{
j=Stap[Stop--];
instack[j]=false;
Belong[j]=Bcnt;
}
while (j!=i);
}
}
void solve()
{
int i;
Stop=Bcnt=Dindex=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
for (i=1;i<=N;i++)
if (!DFN)
tarjan(i);
}
见下图更形象,强轴与弱轴
为什么要“强剪弱弯”、“强柱弱梁”、“强墙弱梁”、“强节点强锚固”
“强剪弱弯”:抗剪不满足时构件会直接破坏,而抗弯不满足时则构件会有一个变形的过渡时间“强柱弱梁”:试想如果一层的柱子破坏了,整栋楼就会垮掉;如果一层的某一根梁断了,只会造成与该梁相连的构件破坏,而不是...
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在计算机图论中,强连通(Strongly Connected)是指有向图G(Directed Graph)中任意两点v1、v2之间都存在着v1到v2的路径(path,若途径的点和边都不重复,则称为路径)及v2到v1的路径。
定理:
一个有向图是强连通的,当且仅当G中有一个回路,它至少包含每个节点一次。
证明:
充分性
如果G中有一个回路,它至少包含每个节点一次,则G中任两个节点都是互相可达的,故G是强连通图。
必要性
如果有向图是强连通的,则任两个节点都是相互可达。故必可做一回路经过图中所有各点。若不然则必有一回路不包含某一结点v,并且v与回路上的个节点就不是相互可达,与强连通条件矛盾。
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
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强连通关系(strong connected relation)一种特殊的关系.指任意两个事物之间与其反关系总有一个成立的那种关系.简称六度空间理论,集合A上的二元关系R,对任何a,bEA,有aRb或bRa.用符号表示:R是A上的强连通关系C}(b aEA)(b bEA)(aRbV bRa).当A上关系R是强连通关系时,称R在A上强连通,或称A上关系R有强连通性.例如实数集上关系"镇"是强连通的,而"<"不是强连通的.A上的强连通关系一定是连通关系;若R强连通,则R-'也强连通,且R日R一土=AXA.
有向图的最大强连通子图称为该有向图的强连通分量。
强连通图只有一个强连通分量,即本身,非强连通图有多个强连通分量。
任何连通图的连通分量只有一个,即为其本身。
一个拓扑空间被认为是局部连通的,如果空间中的每一点的任何一个邻域都包含这个点的一个连通邻域。这里所说的连通邻域,就是指这个邻域所诱导的子拓扑空间按照上面的定义是一个连通空间。 也可以从拓扑基的角度定义局部连通空间:局部连通空间的拓扑基完全是由连通的集合组成的。