设A是n×n对称正定矩阵，若有两个n维向量P和Q，满足

PAQ=0

则称向量P和Q是关于A共轭的，或称P、Q是A共轭方向。

对m个n维向量P，P，…，p，(m

则称P，P，…，P是A共轭的。

如果A=I (单位矩阵)，则上式变为

即向量P，P，…，P相互正交。由此可见正交是共 轭的特殊情形; 共轭是正交概念的推广。

设A为n阶实对称正定矩阵，如果有两个n维向量S1和S2满足

则称向量S1与S2对于矩阵A共轭。如果A为单位矩阵，则式(1)即成为S1S2，这样两个向量的点积（或称内积）为零，此二向量在几何上是正交的，它是共轭的一种特例。

设A为对称正定矩阵，若一组非零向量S1，S2，…Sn满足

SiASj=0 （i≠j） （2）

则称向量系Si（i=1,2，…n）为关于矩阵A共轭。

共轭向量的方向称为共轭方向。

两向量间的一种特殊关系.设A为n×n对称正定矩阵，向量p，p∈R.若满足条件(p)Ap=0，则称p和p关于A是共轭方向，或称p和p关于A共轭.一般地，对于非零向量组p，p，…，p∈R，若满足条件：(p)Ap=0(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则称该向量组关于A共轭。

设A是n×n对称正定矩阵，若有两个n维向量P和Q，满足

PAQ=0

则称向量P和Q是关于A共轭的，或称P、Q是A共轭方向。

由对称正定矩阵的特征向量所组成的一组方 向。设有n×n阶对称正定矩阵Q，其共轭方向为 {d，=1，2，…，m}，则有

(d)Qd=0，i≠j，i，j=1，2，…，m

也称这m个向量对Q共轭。对于n元正定二次目 标函数，依次沿n个共轭方向作一维搜索，则至多 在n步内可获得最优点，利用这一性质可以构造一 类无约束非线性规划算法——共轭方向法。

以一组共轭方向作为搜索方向来求解无约束非线性规划问题的一类下降算法。是在研究寻求具有对称正定矩阵Q的n元二次函数

f(x)=1/2xQ x bx c

最优解的基础上提出的一类梯度型算法，包含共轭梯度法和变尺度法。根据共轭方向的性质，依次沿着对Q共轭的一组方向作一维搜索，则可保证在至 多n步内获得二次函数的极小点。共轭方向法在 处理非二次目标函数时也相当有效，具有超线性的收敛速度，在一定程度上克服了最速下降法的锯齿形现象，同时又避免了牛顿法所涉及的海色(Hesse) 矩阵的计算和求逆问题。对于非二次函数，n步搜 索并不能获得极小点，需采用重开始策略，即在每进 行n次一维搜索之后，若还未获得极小点，则以负 梯度方向作为初始方向重新构造共轭方向，继续搜索。

测地线束与共轭点定义

如果一个从 p 点发出的非平凡 (即各测地线不处处重合， 或者说 Jacobi 场不处处为零) 的类时测地线束在 q 点汇聚， 我们就把 q 和 p 称为该测地线束上 (即其中每一条测地线上) 的一对共轭点(conjugate points)。

测地线束与共轭点存在的条件

从上面的分析中我们看到， 如果从 p 点发出的一个类时测地线束在未来某一点上出现汇聚效应 θ<0， 则在该线束上距离 p 有限远的地方必定存在一个与 p 共轭的点 q - 当然， 这里我们要假定该测地线束可以延伸到 q 点。

显然， 在一个测地完备时空中， “测地线束可以延伸到 q 点” 这一假定是自动满足的。 因此， 对于测地完备时空来说， 上面这个结果是所有类时测地线都满足的普遍性质。 进一步的分析表明， 上述结果所要求的条件， 即在某一点上 θ<0， 可以转化为一个有关曲率张量的条件。 事实上， 从前面所得的 θ-1≥θ0-1 (1/3)(τ-τ0) 可以看到， 即便 σabσab 与 RabVaVb 处处为零， 且 θ0>0 (这是对形成 θ<0 最为不利的条件)， θ 仍将在 τ→∞ 时趋于零 (即几乎就要形成 θ<0 这一结果)。 这使人想到， 上述最为不利的条件只要在某个点上 (从而由连续性条件可知在该点的一个邻域内) 被破坏， 比如 RabVaVb>0 在某个点上成立， 就足可造成当 τ 足够大时 θ<0。 事实也的确如此， 因此某一点上 θ<0 这一条件转化为某一点上 RabVaVb>0。 如果我们进一步把 σabσab 所起的作用也考虑进去， 这一条件还可以继续减弱。

测地线束与共轭点结论

最终可以得到这样一个结果： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件成立， 并且在每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 则所有类时测地线上都存在共轭点对， 简称共轭对。