我们以

根据方程

把各点连成一条光滑的曲线，就得到等加速螺线

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下面我们推导等加速螺线的方程 。

设点O是直线l上一定点，动点M沿直线l作等加速运动，点M在初始位置M₀时的初速为v, q是点M的加速度(q<0为减速度)，同时直线l又以等角速ω绕点O旋转,求动点M的轨迹的方程。

如图2,取定点O为极点，直线l的初始位置Ox为极轴建立极坐标系，M₀的极坐标为(ρ₀, 0),动点经过时间t移动到点M。

设动点M的坐标是(ρ, θ),根据等加速螺线的定义有:

这是等加速螺线的极坐标方程，其中a、b、c是常数，且a≠0 。

等加速螺线的特征是当直线l作等角速转动时，动点M沿直线l运动的速度逐渐增加(或减少)。在凸轮的设计中，如果要使从动杆由不动到等速移动，凸轮上对应的轮廓曲线就必须由圆弧变到等速螺线，为了增强机械运动的平稳以及减少凸轮的磨损，在从动杆由不动到等速移动的中间，需要有一个过渡的阶段，目的是使从动杆移动的速度从零均匀地增大，直至达到所作等速移动的速度，等加速螺线经常被采用为圆弧到等速螺线之间的过渡曲线。

这时，圆弧的终点就是等加速螺线的起点，因此，从动杆的初速

同样，等加速螺线也常被采用为等速螺线到圆弧的过渡曲线 。

求曲线的极坐标方程的一般步骤如下:

(1) 选择适当的极坐标系，就是确定极点与极轴的位置;

(2) 用等式表达曲线上任意一点P(ρ，θ)应满足的条件;

(3) 化简得出曲线的极坐标方程 。

伽利略螺线亦称等加速螺线，是一种特殊曲线，极坐标方程为ρ=aθ² bθ c(a≠0)的曲线称为伽利略螺线(见图，b=c=0的情形)，伽利略螺线是17世纪发现的，在地球赤道某地的上方有一个自由落体，当它随地球一起转动时，画出的曲线就是伽利略螺线，它是动点沿着一条定直线作等加速运动，同时这条直线又绕着它上面一点作等角速度旋转时，动点的轨迹 。

螺线阿基米德螺线

阿基米德螺线是实践中常用的一种曲线。动点在一直线上做匀速运动，而这条直线又围绕着自己上面的一个定点作匀速转动的动点的轨迹称为阿基米德螺线，也叫等速螺线或平面螺线。它的极坐标方程为：

阿基米德在其《螺线》(On Spirals) 一书中引进了在极坐标ρ与θ之下的平面螺线ρ=aθ（如图1所示），其绕线不在同一平面上。据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的。柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了。为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，它发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。除了杠杆系统外，值得一提的还有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。被称作“阿基米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及等地使用。一些喷淋冷却塔所用的螺旋喷嘴喷出喷淋液的运动轨迹也为阿基米德螺线。

螺线对数螺线

对数螺线是一种特殊曲线。指在极坐标系中，极半径ρ的对数与极角θ的比为常数的点M(ρ，θ)的轨迹。它的极坐标方程为

从植物嫩枝的顶端往下，叶子大致上是按对数螺线排列的，这样能使采光面积达到最大；在古生物的研究中，也应用了这种曲线。对数螺线上任一点的切线，与切点的矢径相交成固定的角。这一性质在机械上有广泛的应用。如果旋转的切削刀沿此曲线的弧运动，就可保持固定的切削角，这种刀已在锄草机中使用。为了制造的方便，对数螺线的短弧，可以用阿基米德螺线的短弧近似代替。

螺线双曲螺线

双曲螺线，也称反螺线，是一种特殊曲线，是阿基米德螺线关于极点的反演图形。它是极径和极角成反比例的动点轨迹。双曲螺线的方程是：

双曲螺线

螺线，是一类特殊曲线。它是切向量与一个固定的方向成定角的曲线。曲线为一般螺线的充分必要条件是它的挠率与曲率之比为常数，这类特殊曲线在力学工程技术中有着广泛的应用。螺线可分为螺旋线(非平面曲线)及平面螺线。

在空间，一个动点M沿直线L作匀速直线运动，同时又以等角速度绕同平面的轴线Oz旋转，M的轨迹是一条空间(非平面)曲线，称为螺旋线。它分为左旋与右旋两种。螺旋线是绕在圆柱面或圆锥面上的曲线，而它的切线与定直线(曲面的母线)的交角，是固定不变的。

对于平面螺线，是指在平面极坐标系中，如果极径ρ随极角θ的增加而成比例增加（或减少），这样的动点所形成的轨迹。典型的平面螺线有正弦螺线、阿基米德螺线、对数螺线、双曲螺线等 。

正弦螺线定义

正弦螺线是一种特殊曲线，指极坐标方程为

正弦螺线特例

正弦螺线

（1）当n=-2时为等边双曲线；

（2）当n=-1时为直线；

（3）当n=-1/2时为抛物线；

（4）当n=-1/3时为契尔恩豪森三次曲线；

（5）当n=1/2时为心脏线；

（6）当n=1时为圆；

（7）当n=2时为伯努利双纽线。

图2上画出n=3，4，3/5时的正弦螺线 。