在加载过程中，若应力张量各分量之间的比值保持不变。按同一参数单调增加，则加载称为简单加载，不满足这个条件的叫复杂加载。在简单加载下，用全量应力和全量应变表达的本构方程为：

控制变量变分原理的基础理论之一是现代控制论中的最优控制理论。因此最首要的是确定系统的参数和建立系统的状态方程，即所谓“系统辩识”问题。系统的参数可分为状态变量和控制变量二部分。所谓状态变量是指能够完全描述系统状态的最小的一组变量。就弹塑性全量边值问题而言,确定系统状态的物理量有位移ui、应变￡lj和应力oij共15个变量，其中有些通过定解方程可以从另一些量导出，有些则因其所描述的定解方程被变分极值的结果所取代而不必显式给出，因此完全描述系统并不同时需要这么多变量。对于最小势能原理，可取位移ui(三个变量)作为状态变量；对于最小余能原理，状态变量取应力iaj(共六个)。一般地，对于广义变分原理，状态变量可以是上述15个变量中的某些组合，这就要看所选用的能量泛函的形式了。在弹塑性系统中，流动参数d入控制着系统作弹性或塑性状态的变化，保证屈服条件不致破坏，因而可作为系统的控制变量。

系统的状态方程是描述实际系统各物理量之间关系的数学表达式。对于弹塑性系统来说，描述各物理量之间内在联系的是本构关系，因此本构关系可以作为系统的状态方程。经推导后表达成一定实用形式的本构关系称为本构状态方程。从可控性的角度考虑，一般要求在控制容许域内本构状态方程能够保证控制变量具有唯一性。当本构状态方程表达成线性互补的形式时，可满足这一要求，且最终的有限元数值解呈线性状态，可大大简化计算。

塑性力学中用全量应力和全量应变表述弹塑性材料本构关系的理论，又称塑性变形理论。1924年H.亨奇从变分原理出发，得出了一组关于理想塑性材料的全量形式的应力-应变关系（即本构关系）。它是简单加载条件下，增量理论的简化方程，所以是塑性加工力学中最简单的本构方程。简单加载也称比例加载，是指加载过程中物体内任一点的应力分量均按比例增加。

此后，苏联的A.A.伊柳辛提出简单加载定理，使全量理论更为完整。全量理论的本构方程在数学表达上比较简单，但它不能反映复杂的加载历史，在应用上有局限性。

塑性全量理论，严格地说，要求结构内部每一质点的材料都经历简单加载的历史。但实际结构大多数是在非均匀应力条件下工作的，要保证结构内部每一点都满足简单加载条件，对于结构所承受的载荷和结构的材料必须提出某些要求。伊柳辛指出，如果满足如下的四个条件，结构内各点都经历简单加载：①小变形；②所有外载荷都通过一个公共参数按比例单调增加，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；③材料的等效应力和等效应变之间的关系可以表示为幂函数形式

进一步的研究还表明，全量理论不仅在简单加载的条件下适用，对于某些偏离简单加载的加载路径也适用。至于在一般情况下应力路径偏离简单加载路径多远仍可使用全量理论的问题，还需要继续从理论和实验两方面进行研究。由于全量理论的公式比较简单，应用于实际计算比塑性增量理论方便，因此，使用相当广泛 。

在复杂结构件的强度试验中，零组件、构件的拉断、屈服及失稳现象是结构破坏过程的主要表现形式。构件塑性形态的产生、发展直到最后破坏，均与试验过程中构件承载的应力密切相关。通常情况下应力是判断结构承载能力最重要的依据，但结构实验检测到的直接数据是构件变形而不是应力，所以在研究弹塑性问题时，把直接检测到的应变通过应力应变表述函数转换成对应载荷下的确切应力至关重要。

研究弹塑性问题时，通常使用塑性增量理论或塑性全量理论。在增量理论中，应力与应变的全量关系必然与加载路径有关，但是，这在复杂结构试验中很难搞清楚。在理论研究和大量试验数据的基础上，应用全量理论，提出一种新的应力应变表述函数，从而为解决复杂应力状态下的弹塑性问题提供理论依据。

弹塑性增量理论，又称增量理论，是由圣维南于1871 年提出的，提出了塑性应变增量主轴和应力变量主轴重合的重要假设，为塑性理论的发展奠定了基础；同年，列维近一步提出：在塑性变形过程中，塑性应变增量分量与对应的偏应力分量成比例，并建立了 Levy-Mises 塑性增量理论。在此基础上，1924 年，普朗特考虑到金属屈服后应包括弹性应变部分，1930 年罗伊斯将这一理论推广到三维应力问题，完善并建立了普朗特—罗伊斯塑性增量理论。包括下述基本假设：1)材料是不可压缩的。对金属材料而言， 即使在高压状态下，根据弹性理论可知物体在平均正应力的作用下，所引起的变形只有弹性体积变形，不会引起塑性体积变形；但在应力偏量作用下，会使物体产生畸变，但体积不发生变形。物体的畸变又包括弹性变形和塑性变形两部分， 也就是说塑性变形仅由应变偏量引起， 同时认为塑性状态下体积变形等于零。2)应变偏量与应力偏量成比例。由于应力罗德参数代表应力莫尔圆的相对位置， 应变增量罗德参数代表应变增量莫尔圆的相对位置， 因此应力罗德参数与应变增量罗德参数之间的关系可以通过大量实验确定。3)材料是理想刚塑性的，L- M 理论在推导过程中均考虑了塑性应变增量， 因此是基于刚塑性模型建立的 。

弹塑性增量理论，又称增量理论，是由圣维南于1871 年提出的，提出了塑性应变增量主轴和应力变量主轴重合的重要假设，为塑性理论的发展奠定了基础；同年，列维近一步提出：在塑性变形过程中，塑性应变增量分量与对应的偏应力分量成比例，并建立了 Levy-Mises 塑性增量理论。在此基础上，1924 年，普朗特考虑到金属屈服后应包括弹性应变部分，1930 年罗伊斯将这一理论推广到三维应力问题，完善并建立了普朗特—罗伊斯塑性增量理论。包括下述基本假设：1)材料是不可压缩的。对金属材料而言， 即使在高压状态下，根据弹性理论可知物体在平均正应力的作用下，所引起的变形只有弹性体积变形，不会引起塑性体积变形；但在应力偏量作用下，会使物体产生畸变，但体积不发生变形。物体的畸变又包括弹性变形和塑性变形两部分， 也就是说塑性变形仅由应变偏量引起， 同时认为塑性状态下体积变形等于零。2)应变偏量与应力偏量成比例。由于应力罗德参数代表应力莫尔圆的相对位置， 应变增量罗德参数代表应变增量莫尔圆的相对位置， 因此应力罗德参数与应变增量罗德参数之间的关系可以通过大量实验确定。3)材料是理想刚塑性的，L- M 理论在推导过程中均考虑了塑性应变增量， 因此是基于刚塑性模型建立的。

连续性假设

连续性假设有两层含义：物质点无空隙地分布于物体所占据的整个空间；物体在变形过程中仍保持连续性，不出现开裂或重叠现象。显然，在连续性假定下，表征物体变形和内力的量就可以表示为坐标的连续函数。这样，我们在进行弹塑性力学分析时，就可以应用数学分析这个强有力的工具。连续性假设显然与介质由不连续的粒子所组成这一事实相矛盾。但是，采用连续性假设不仅是为了避免数学上的困难，更重要的是根据它所做出的力学分析，被广泛的实践证明是正确的。事实上，从统计学的观点来看，只要物体的尺寸足够大，与晶体材料的晶粒或混合材料的颗粒相比数量级悬殊，就可以当作连续介质来处理。

辅助性假设

为了解析求解，通常需要引入辅助性假设。其中均匀性假设认为，物体内各点处物理力学性质相同，即特性参数不随位置坐标而变化。各向同性假设认为，材料的性质与方向无关，即特性参数不随方向而变化。例如，在做某种金属拉伸试验时，不管试件从铸锭的哪个方向切出，都不影响结果；与拉力垂直的各个方向都有相同收缩。实际上，金属材料由微小晶体组成，晶体本身是各向异性的。但是，由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为金属材料是各向同性的。然而，有些材料则必须考虑各向异性，例如复合材料、木材 等。

小变形假设

小变形假设指物体在外力作用下产生的变形与其本身几何尺寸相比很小，可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。这样，就可以用变形以前的几何尺寸来建立各种方程。此外，应变的二阶微量可以忽略不计，从而使得几何方程线性化。然而，对于大变形问题，必须考虑几何关系中的高阶非线性项，平衡方程也该在变形后的物体上列出。

无初应力假设

无初应力假设认为物体在外力作用以前，其内部各点应力均为零。分析计算是从这种状态出发的，求得的应力仅仅是由于荷载变化产生的。若物体中有初应力存在，则弹塑性理论求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。2100433B