液体动力学方程连续性方程

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种表达形式。

液体的可压缩性很小，在一般情况下认为是不可压缩的，即密度ρ为常数。由质量守恒定律可知，理想液体在通道中作稳定流动时，液体的质量既不会增多，也不会减少，因此在单位时间内流过通道任一通流截面的液体质量一定是相等的。如左所示，管路的两个通流面积分别为A1、A2，液体流速分别为v1、v2，液体的密度ρ为，则有

ρv1 A1=ρv2 A2=常量

v1 A1=v2 A2=q=常量 （1-1）

式（1-1）称为液流的连续性方程，它说明不可压缩液体在通道中稳定流动时，流过各截面的流量相等，而流速和通流截面面积成反比。因此，流量一定时，管路细的地方流速大，管路粗的地方流速小。

在具有分支的管路中，有Q1=Q2 Q3的关系。

液体动力学方程伯努利方程

伯努利方程是能量守恒定律在流动液体中的表现形式。为了讨论问题方便，我们先讨论理想液体的流动情况，然后再扩展到实际液体的流动情况。

1、理想液体的伯努利方程

理想液体在管内稳定流动时没有能量损失。在流动过程中，由于它具有一定的速度，所以除了具有位置势能和压力能外，还具有动能。如图2-13所示，取该管上的任意两截面1-1和2-2，假定截面积分别为A1、A2，两截面上液体的压力分别为p1、p2速度分别为v1和v2，由两截面至水平参考面的距离分别为h1、h2。根据能量守恒定律，重力作用下的理想液体在通道内稳定流动时的伯努利方程为

p1 1/2ρv1^2 ρgh1=p2 1/2ρv2^2 ρgh2

或 p ρgh (1/2)*ρv^2=常量 （1-2）

式中p为单位体积液体的压力能； 为单位体积液体相对干水平参考面的位能；ρv2/2为单位体积液体的动能。

式（1-2）即为理想液体的伯努利方程，它表明了流动液体各质点的位置、压力和速度之间的关系。其物理意义为：在管内做稳定流动的理想液体具有动能、位置势能和压力能三种能量，在任一截面上的这三种能量都可以互相转换，但其和都保持不变。由此可见，静压力基本方程是伯努利方程（流速为零）的特例。

2、实际液体的伯努利方程

式（1-2）是理想液体的伯努利方程，但实际液体具有黏性，在过流断面上各点的速度是不同的，所以方程中ρv×v/2这一项要进行修正，其修正系数为a，称为动能修正系数。一般液体处于层流流动时取a=2，液体处于紊流流动时，取a=1。另外，由于液体有黏性，会产生内摩擦力，因而造成能量损失。若单位质量的实际液体从一个截面流到另一截面的能量损失用Δpw表示，则实际液体的伯努利方程为

p1 1/2ρα1v1^2 ρgh1=p2 1/2ρα2v2^2 ρgh2 Δpw

液体动力学方程动量方程

动量方程是动量定理在流体力学中的应用。由动量定理可知：作用在物体上的外力等于物体在受力方向上的动量变化率，即ΣF=mv2/Δt-mv1/Δt

对于在管道内作稳定流动的液体，若忽略其可压缩性，可将m=ρqΔt代入上式。考虑到以平均流速代替实际流速会产生误差，因而引入动量修正系数β，则上式变成

ΣF=ρqv2-ρqv1=ρqβ2va2-ρqβ1va1

上式为流动液体的动量方程（矢量方程）。当液流为紊流时取β=1，为层流时取β=1.33。2100433B

理想液体和稳定流动

，因此在研究流动液体时必须考虑黏性的影响。为了分析问题简便，通常先假设液体没有黏性，推导出一些理想的简单结论，而黏性的影响则通过实验对理想的结论加以修正。对于液体的可压缩性问题，也可用同样方法处理。

（1）理想液体

在研究流动液体时，将假设的既无黏性又无压缩性的液体称为理想液体，而事实上存在的有黏性和可压缩性的液体称为实际液体。

（2）稳定流动

液体流动时，若液体中任一点的压力、速度和密度都不随时间而变化，则这种的流动称为稳定流动。若在压力、速度和密度中有一个量随时间变化，就称为不稳定流动。图a为稳定流动，图b为不稳定流动。稳定流动与时间无关，研究比较方便，而不稳定流动研究起来比较复杂。因此在研究液压系统的静态性能时，往往将一些不稳定流动问题适当简化，作为稳定流动来处理。

流量和平均流速

流量和平均流速是描述液体流动的两个主要参数。液体在管道中流动时，通常将垂直于液体流动方向的截面积称为通流截面。

单位时间内通过某过流断面的液体的体积称为流量。一般用符号q表示。常用法定计量单位有m3/s或L/min等，单位的换算关系为：1m3/s=6×104L/min=1×106ml/s

在实际中，由于液体在管道中流动时的速度分布规律为抛物面，计算较为困难。为了便于计算，现假设过流断面上流速是均匀分布的，且以均布流速va流动，流过断面A的流量等于液体实际流过该断面的流量。流速va称为流断面上的平均流速，以后所指的流速，除特别指出外，均按平均流速来处理。于是有q=vaA，故平均流速va为 va=q/A

在液压缸中，液体的流速与活塞的运动速度相同，由此可见，当液压缸的有效面积一定时，活塞运动速度的大小，由输入液压缸的流量来决定。

液体的流动状态

英国物理学家雷诺通过大量的实验，发现了液体在管路中流动时有层流和紊流（也称湍流）两种流动状态，在层流时，液体质点沿管路做直线运动，互不干扰，没有横向运动，即液体作分层流动，各层间的液体互不混杂。在紊流时，液体质点除了沿管路运动外，还有横向运动，呈紊乱混杂状态。实验证明，圆管中液体的流动状态与液体的流速v、管路的内径d以及油液的运动黏度ν有关。因此能判定液体流动状态的则是这三个参数所组成的一个无量纲的雷诺数Re，即Re=vd/ν

雷诺数的物理意义；雷诺数是液流的惯性力与内摩擦力的比值。雷诺数较小时，液体的内摩擦力起主导作用，液体质点运动受黏性约束而不会随意运动，液流状态为层流；雷诺数较大时，惯性力起主导作用，液体黏性不能约束质点运动，液流状态为紊流。

实验指出：液流从层流变为紊流时的雷诺数大于由紊流变为层流时的雷诺数，工程中一般都以后者为判断液流状态的依据，称其为临界雷诺数，记做Rec。当Re<Rec时液流为层流；反之，则多为紊流。

临界雷诺数由实验求得。对于光滑金属圆管中液流的Rec为2000~2320，对于橡胶软管液流Rec的为1600~2000，其他通道的Rec可查有关资料。

对于非圆形截面的通道，液流的雷诺数可按下式计算：Re=4vR/ν

式中：R为通流截面的水力半径。

水力半径是等于液流的有效截面积和它的湿周(过流断面上与液体接触的固体壁面的周长)x之比，

即R=A/x

水力半径的大小对通流能力影响很大。水力半径大意味着液流和管壁的接触周长相对较短，管壁对液流的阻力较小，通流能力较大，即使通流截面面积较小也不易堵塞。

实际中液压油总是在流动的，因此除了研究静止液体的性质外，还必须研究液体运动时的现象和规律，液体流动时的三个基本方程，即连续性方程、伯努利方程、动量方程。

如图1所示，以液体中的弹簧振子为例，介绍阻尼振动的动力学方程。

假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：

对物块应用牛顿第二定律：

为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程。

液体的蒸气压随温度的升高而增大，当液体的蒸气压等于外界大气压时，液体内部产生大量气泡并不断逸出，在液体内部和表面同时发生剧烈汽化的现象。这种现象称为沸腾，此时的温度称为该液体的沸点。以水为例，一个大气压下，若水温达到100℃，此时水的蒸气压正好是1个大气压，水开始沸腾，100℃即是1个大气压下水的沸点。

液体的沸点和外部压强有关。当液体所受的压强增大时，它的沸点升高；压强减小时，沸点降低。例如，蒸气锅炉里的蒸气压强约有几十个大气压，锅炉里的水的沸点可在200℃以上。又如，在珠穆朗玛峰上大气压为32kPa，水加热到71℃就沸腾了，但饭不易煮熟。这是由于大气压随地势的升高而降低，水的沸点也随高度的升高而逐渐下降。因此,提及液体的沸点时，必须同时指明外界压力条件。习惯上把压力为101.325kPa时的液体沸点作为正常沸点。

化工生产中经常利用沸点和外界压力的关系来处理生产中遇到的问题，常采用减压蒸馏的方法来分离和提纯高沸点化合物或在常压下易分解的化合物。例如生活用的高压锅，就是利用升高液面的压力使液体沸点升高，从而升高锅内的温度,使食物更易煮熟。

在一定温度下，溶液中分子运动的速度及其具有的能量都不相同，液面上那些能量较大的分子可以克服液体分子间的引力而逸出液体表面，成为蒸气分子。这一过程称为蒸发。另一方面，其中的一些气体分子撞击液体表面被吸引重新返回液体。这个与液体蒸发现象相反的过程称为凝聚。

起初，液体上方没有气体分子，凝聚的速度为零;随着气体分子越来越多，凝聚的速度也越来越快，当凝聚速度和液体蒸发速度相等时，即单位时间内，溢出液体表面的分子数等于返回液体变成液体的分子数，就达到了蒸发与凝聚的动态平衡:

此时，在液面上方的气体分子数不再改变，蒸气的压力就恒定了。在恒定的温度下，与液体平衡的蒸气称为饱和蒸气；饱和蒸气的压力就是该温度下的饱和蒸气压，简称蒸气压。

在一定温度下,每种液体都有恒定的蒸气压，它是液体的一种特征，常用来表示液体在一定温度下的挥发性。蒸气压大的物质为易挥发物质，反之为难挥发物质。同物质在不同温度下有不同的蒸气压，并随着温度的升高而增大。