统计检验又称“假设检验”。指利用样本资料对总体的分布类型、数量特征等作出判断的一种数理统计方法。在舆论研究中，常有两种情况需要加以检定：第一种情况是，当对某一研究总体的特征已有初步的了解，在此基础上可提出一种假设，然后用抽样方法对这一假设进行检定。例如，根据以往的调查资料，假设某地区家庭的平均人口数为4人，为了验证这一假设是否可信，就要从该地区抽取样本进行分析研究。显然，抽样调查的结论与事先提出的统计假设之间总会存在一定程度的差异。这种差异若是由于抽样误差造成的，就需肯定原假设，若是由于对总体提出的统计假设有错误，就需否定原假设。第二种情况是，当抽取了两个样本，它们的统计量(如平均数、比率、标准差等)也会存在着差异。这时，这种差异是由于各自从中抽取的总体之间存在差异造成的，还是总体之间并不存在差异，甚至两个样本都是从同一总体中抽取的，两个样本统计的差异完全是抽样误差造成的，这就需要通过统计检验来加以判定。统计检验是以小概率原理为基础的，所谓小概率原理可以归纳为两个方面，一是可以认为小概率事件在一次观察中是不可能出现的。二是如果在一次观察中出现了小概率事件，那么就否定原有事件具有小概率的说法(即假设)。统计检验的一般步骤为：(一)根据所要研究的问题，提出原假设(研究假设)；(二)规定一个适当的显著性水平a，如a=0.05；(三)确定检验用的统计量；(四)根据显著性水平求出假设检验用的统计量的临界值；(五)用样本资料与临界值比较；(六)对原假设作出判断，如果样本统计量大于临界值，就拒绝原假设，反之则接受。

秩统计量斯皮尔曼

英国心理学家和统计学家，以智力二因素论而著称于世。生于伦敦。1897年入德国莱比锡大学跟W.冯特学习。后曾两次从军。1904年曾在《美国心理学报》上发表一篇题为《客观决定的和测定的普遍智力》的论文，被E.L.桑代克称誉为“心理学史上的一个伟大标界”。1906年获莱比锡大学的博士学位。1907年到符兹堡大学，拜O.屈尔佩为师，再到格丁根大学就学于G.E.缪勒。同年回国后，被W.麦独孤推荐为伦敦大学心理学主讲。1911年升任为心理学、逻辑学教授。1924年当选为英国皇家学会院士。1928年正式被任命为心理学教授。1931年退职后为名誉教授。

斯尔皮曼是运用统计学原理编制智力测验最早的学者之一。特别是盛行于30年代的因素分析法，最初的设想也是由他开始的，被称为因素分析之父。他在对心理测验材料进行统计分析的基础上，于1904年首创智力二因素理论。他在研究中发现，不同心理能力间往往具有很高的相关，因此，他断言，在各种不同心智活动中有一种共同的因素，他称之为g因素。并认为任何心智活动只包括两种因素，除g因素外，还有一种特殊因素，他称之为s因素。他认为：g因素代表个人的普通能力，是一切心智活动的主体和智力的基础，个体间智力的差异就取决于g因素的多寡，g因素对于任何测验来说都是相同的;s因素代表个人的特殊能力，只有在某种特殊情况下(如特殊的工作或活动)才会表现出来，s因素因测验而异。因此认为代表个人智力的，实际上只有g因素，智力测验内容只应包括测量g因素的题目。由此，把斯皮尔曼的智力二因素论称为智力单因素或普通因素论似乎更贴切。所有采用单一IQ分数的智力测验都是以斯皮尔曼的智力理论单理论而编制的。斯皮尔曼后来在研究中发现，有些活动或测验间具有很高的相关，这不能完全由g因素来解释，于是他意识到除g因素和s因素外，还可能有另一中间等级的因素，如算术能力、机械能力、语言能力等。这其实就是L.L.瑟斯顿提出的群因素。

斯皮尔曼还创立了等级相关法以及反映测验信度与测验长度关系的公式，该公式被称为斯皮尔曼—布朗公布。斯皮尔曼的主要著作有：《智力的性质和认识的原理》(1923)、《人的能力》(1927)、《创造的心》(1931)、《历史心理学史》(1937)等。

秩统计量威尔柯克松

美国统计学家。生于爱尔兰的科克，卒于美国佛罗里达的塔拉哈西。1917年获宾夕法尼亚军事学院学士学位，1921年获密歇根大学化学硕士学位，1924年获康奈尔大学物理化学博士学位。1925—1941年在博伊斯·汤普逊研究所从事植物和杀虫剂等研究；1941—1943年在拉文纳军械设备控制实验室工作；1943—1957年任职于美国氨腈公司，1957年退休。1957—1960年任职于斯坦福研究实验室。1960年到佛罗里达州立大学从事研究与教学工作，直至去世。

威尔科克逊在统计学方面的主要贡献是：统计、秩检验、多重比较、序列秩、析因设计和生物测定法等。1945年，他引入了他的双序测试。此工作曾导致了非参数统计，激励了非参数方法的广泛发展。这种统计方法的引入极大地影响了应用统计学在社会科学领域的应用。他是非参数序列方法的开创者，并领导发展了不少序列秩方法.1964年，在他与他人合作出版的《某些快速近似统计法》小册子中，阐述了多重比较法的性质等，为广泛传布非参数多重比较法起了重要作用。他还与他人合作导出了分数析因设计。另外，他在化学的杀真菌剂反映、植物生长、杀虫剂研究等方面也有成就。他是戈登化学与化工统计研究会议的领袖人物，并曾任其主席。 2100433B

秩统计量(rank statistic)是用于统计检验的一种统计量。是基于样本值的大小在全体样本中所占位次(秩)的统计量。设X₁，X₂，…，X_n为样本，X₍₁₎，X₍₂₎，…，X_(n)为该样本的顺序统计量。若X₁，X₂，…，X_n互不相等，则存在惟一的R_i，使X_i=X_(Ri)，称R_i为X_i之秩。记R=(R₁，R₂，…，R_n)，称R或R的任一已知函数为秩统计量，使用秩统计量的统计方法为秩统计方法，或简称秩方法。特别重要的一类秩统计量是线性秩统计量，即形如：

秩方法主要用于统计检验，称为秩检验。秩方法最主要的优点是由秩方法构造的检验统计量在原假设下往往是分布无关的。

秩方法始自斯皮尔曼(C.Spearman)于1904年使用秩统计量检验两变量是否相关的工作，而威尔柯克松(F.Wilcoxon)于1945年关于秩和检验的工作，则是对秩方法发展史上的一个重要贡献。

亦称“估计量”，抽样总体(即样本)计算的统计指标，也就是抽样指标或样本指标。如样本的平均数、众数、中位数、标准差、相关系数等，都是样本统计量。根据这些统计量可以推断总体分布或有关特征数(即总体参数)的可靠性。由于样本是根据随机原则从总体中抽取的，因而样本统计量本身也是一个随机变量，在同一总体的不同样本中，其各自的统计量各有不同，它是随着样本的变化而变化的。

定义1:用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为r（A），根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是唯一的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。

定义2:在

（1）有某个r阶子式

（2）所有r 1阶子式

称A的秩为r，记作R（A)=r。规定：R（O)=0.

对

若R（A)=n，称A为列满秩矩阵。

对

若R（A)

方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或

m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(a_ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

由行列式的性质知，矩阵A的转置A^T的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(A^T)。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩R_ab<=min{R_a,R_b};

引理：设矩阵A=(a_ij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零） 。

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A B)<=r(A) r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A) r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB) n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A) r(B)

即r(A) r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A) r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

(9)若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。2100433B