拓扑空间的极大连通子集称作连通单元，每个空间都能表成它的连通单元的不相交联集。连通单元必然是闭的，在够好的空间(如流形、代数簇)上也同时是开的，但并非总是如此。例如有理数集上的连通单元都是单元素集合。如果一个空间的连通单元都是单元素集合，则叫做全不连通空间。代数数论中构造的许多拓扑空间都属于这一类。

一个拓扑空间被认为是局部连通的，如果空间中的每一点的任何一个邻域都包含这个点的一个连通邻域。这里所说的连通邻域，就是指这个邻域所诱导的子拓扑空间按照上面的定义是一个连通空间。 也可以从拓扑基的角度定义局部连通空间:局部连通空间的拓扑基完全是由连通的集合组成的。

例如。在具有0,1值的二值图像中，两个像素可能是4邻接的，但仅仅当它们具有同一灰度值时，才能说是连通的。

如果对空间 X 中任两点 x,y，都存在连续函数 γ:[0，1]→X 使得 γ(0) = x,γ(1) = y，则称 X 为道路连通空间。若定义中的 γ 可取为使得[0，1]→γ([0，1]) 为同胚，则称之为弧连通空间。道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

道路连通性保连通性，反之则不然。

在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。如果 G 是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图(注意:需要双向都有路径)。图的连通性是图的基本性质。

【连通的性质】

1. 实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间

2. 连通性由同胚保持，从而是空间的拓扑性质

3. 设Ω是X的一族子集，它们的并是整个空间X，每个Ω中的成员连通，且两两不分离（即任意两个集合的闭包有非空交），则X连通

4. 若X,Y连通，则乘积空间X×Y连通