（1）物理意义

设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示

X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn

X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n

X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N

单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换

离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义.

DFT的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上DFT是从DFS引申出来的,它们的本质是一致的,因此DTS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性

(1)从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(ejω)的等间隔采样。由于X(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列

(2)从DFT与DFS之间的关系考虑。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，当不限定N时，具有周期性

(3)从WN来考虑，当不限定N时，具有周期性

1.线性性质

如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N) BX2(N)

式中A,B为常数，取N=max[N1,N2]，则Y(N）的N点DFT为

Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K) BX2(K), 0≤K≤N-1;

2.循环移位特性

设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为

Y(N)=X((N M))下标nR（N）

式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)

离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列

然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限宽的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠’，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的带宽小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度

模拟信号xn(t)的傅里叶变换对为

X(jΩ)={-∞, ∞}x(t)*exp^-jΩt dt

x（t）=1/2π{-∞, ∞} X(JΩ)*e^jΩt dΩ

用DFT方法计算这对变换对的方法如下：

（a）对xn(t)以T为间隔进行采样，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于

t→nT,dt→T, {-∞, ∞}→∑n={-∞, ∞}

因此得到

X(jΩ)≈∑n={-∞, ∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T

x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω

（b）将序列x(n)= xn(t)截断成包含有N个抽样点的有限长序列

X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T

由于时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为fs=1/T

（c）为了数值计算，频域上也要抽样，即在频域的一个周期中取N个样点，fs=NF0,每个样点间隔为F0，频域抽样使频域的积分式变成求和式，而在时域就得到原来已经截断的离散时间序列的周期延拓，时间周期为T0=1/F0。因此有

Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞, ∞} dΩ→∑n={-∞, ∞}Ω0

T0=1/F0=N/fs=NT

Ω0=2ΠF0

Ω0T=Ω0/fs=2π/N

X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT

（1）时域和频域混叠

根据采样定理，只有当采样频率大于信号最高频率的两倍时，才能避免频域混叠。实际信号的持续时间是有限的，因而从理论上来说，其频谱宽度是无限的，无论多 大的采样频率也不能满足采样定理。但是超过一定范围的高频分量对信号已没有多大的影响，因而在工程上总是对信号先进行低通滤波

另一方面，DFT得到的频率函数也是离散的，其频域抽样间隔为F0，即频率分辨力。为了对全部信号进行采样，必须是抽样点数N满足条件

N=T0/T=fs/F0

从以上两个公式来看，信号最高频率分量fc和频率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，则抽样间隔T就要减小，而FS就要增加，若在抽样点数N不变的情况下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加记录长度内的点数N，在fc和F0给定的条件下，N必须满足

N>2fc/F0

（2）截断效应

在实际中遇到的序列x(n)，其长度往往是有限长，甚至是无限长，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截断为长度为N的有限长序列

Y(n)=x(n).R_N(n)

根据频率卷积定理

Y(e)=1/2Πx(e)*H(e)

|ω|<2π/N叫做主瓣，其余部分叫做旁瓣

（3）频谱泄露

原序列x(n)的频谱是离散谱线，经截断后使每根谱线都带上一个辛格谱，就好像使谱线向两边延申，通常将这种是遇上的截断导致频谱展宽成为泄露，泄露使得频谱变得模糊，分辨率降低

（4）谱间干扰

因截断使主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量间的干扰，成为谱间干扰，这不仅影响频谱分辨率，严重时强信号的旁瓣可能湮灭弱信号的主谱线。

截断效应是无法完全消除的，只能根据要求折中选择有关参量。

（5）栅栏效应

N点DFT是在频率区间[0,2π]上对信号的频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散点X(k)，且它们之限制为基频F0的整数倍，这部好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象，只能在离散点的地方看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮拦，所以称为栅栏效应。

减小栅栏效应，可以在时域数据末端增加一些零值点，是一个周期内的点数增加

（6）信号长度的选择

在时域内对信号长度的选择会影响DFT运算的正确性。实际的信号往往是随机的，没有确定的周期，因此在实际中，应经可能估计出几个典型的、带有一定周期性的信号区域进行频谱分析，然后在取其平均值，从而得到合理的结果。

判断系统是否为最小相位系统的简单方法是：如果两个系统的传递函数分子和分母的最高次数都分别是m，n，则频率ω趋于无穷时，两个系统的对数幅频曲线斜率均为－20（n－m）dB/dec但对数相频曲线却不同：最小相位系统趋于－90°（n－m），而非最小相位系统却不这样。

1.C语言实现代码

intDFT(intdir,intm,double*x1,double*y1)
{
longi,k;
doublearg;
doublecosarg,sinarg;
double*x2=NULL,*y2=NULL;
x2=malloc(m*sizeof(double));
y2=malloc(m*sizeof(double));
if(x2==NULL||y2==NULL)return(FALSE);
for(i=0;i
 

离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型，其中4种是常见的)。

最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。

有两个相关的变换，一个是离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform),它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。

离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性)的性能。

例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。

一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。

离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。

离散系数是衡量资料中各观测值离散程度的一个统计量。当进行两个或多个资料离散程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同时，比较其离散程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较 ：

离散系数通常可以进行多个总体的对比，通过离散系数大小的比较可以说明不同总体平均指标（一般来说是平均数）的代表性或稳定性大小。一般来说，离散系数越小，说明平均指标的代表性越好；离散系数越大，平均指标的代表性越差。

离散系数只对由比率标量计算出来的数值有意义。举例来说，对于一个气温的分布，使用开尔文或摄氏度来计算的话并不会改变标准差的值，但是温度的平均值会改变，因此使用不同的温标的话得出的变异系数是不同的。也就是说，使用区间标量得到的变异系数是没有意义的。

离散系数在概率论的许多分支中都有应用，比如说在更新理论、排队理论和可靠性理论中。在这些理论中，指数分布通常比正态分布更为常见。

由于指数分布的标准差等于其平均值，所以它的离散系数等于一。离散系数小于一的分布，比如爱尔朗分布称为低差别的 ，而离散系数大于一的分布，如超指数分布则被称为高差别的。