算术关系概念的相对化。对自然数集A和关系R，若R可表示成(Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Q_nx_n)S(x₁，x₂，…，x_n，a₁，a₂，…，a_m)的形式，其中Q₁，Q₂，…，Q_n为量词ᗄ或∃，S为相对A递归的关系，则称R为相对于A的算术关系。若集合B是相对于A的(一元)算术关系，即B可表示成：{x：(Q₁y₁)(Q₂y₂)…(Q_ny_n)S(y₁，y₂，…，y_n，x)}其中Q₁，Q₂，…，Q_n为量词，S为相对于A递归的n 1元关系，则称B为相对于A的算术集，并记为B≤_aA，亦称B可算术化归到A。由算术化归关系可导出算术等价的概念。对集合A，B，若A≤_aB，并且B≤_aA，则称A，B算术等价，记为A≡_aB。2100433B

算术关系是递归关系的推广。是可以通过对递归关系添加有穷个量词定义的关系，即可以表示Q₁x₁Q₂x₂…Q_nx_nR(x₁，x₂，…，x_n，a₁，a₂，…，a_n)形的关系，其中R为递归关系，Q₁，Q₂，…，Q_n为一阶量词∃或ᗄ。等价地，算术关系亦是可以从递归关系出发，经有限次否定与射影运算得到的关系。算术关系的定义是由美国逻辑学家、数学家克林(Kleene，S.C.)与波兰数学家莫斯托夫斯基(Mostowski，A.)给出的。

从可判定(或可计算)的角度上说，递归关系具有最小的复杂性，但递归关系对(不受限)量词不封闭，而算术关系类则为递归关系类对量词封闭的最小扩张，因此算术关系的概念可看做递归关系概念的推广。实际上，任何算术关系也恰为一阶算术可定义关系，这也是“算术”一词的来源。

递归关系是序列的项之间的一种关系。指序列的任一项均被其前若干项所确定的那种关系。对于数列{a_n|n=0，1，2，…}，若当n≥0时，恒有关系式：

a_{n k}=F(a_{n k-1}，…，a_n)，

这里k为正整数，F为元a_{n k-1}，…，a_n的代数函数，且a_n必在式中出现，则a_{n k}=F(a_{n k-1}，…，a_n)称为数列{a_n|n=0，1，2，…}的一个逆归关系。若给定此递归关系，且给出a₀，a₁，…，a_k-1的一组初值，则数列{a_n|n=0，1，2，…}完全确定。例如，递归关系a_{n 2}=a_{n 1} a_n及初值a₀=a₁=1完全确定数列1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列。使用计算机，根据给定递归关系和初值计算相应的数列的项很方便。因此，递归关系是研究数列的一个有力工具。

解析分层亦称解析谱系。按照量词复杂性对解析关系所作的递归论分层。与算术分层类似，任何解析关系可以用算术关系加上有穷个交替出现的二阶函数量词ᗄ′与∃′表示，依照量词个数，可以将该解析关系纳入具体的解析分层Σ¹_n或π¹_n中。形式地，具体的解析分层Σ¹_n，π¹_n，Δ¹_n可递归定义如下：

1.Σ¹₀=π¹₀={R：R为算术关系}。

2.Σ¹_{n 1}={(∃′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈π¹_n}.

3.π¹_{n 1}={(ᗄ′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈Σ¹_n}。

4.Δ¹_n=Σ¹_n∩π¹_n.

Σ¹_n，π¹_n与Δ¹_n中的关系分别称为Σ¹_n关系、π¹_n关系与Δ¹_n关系，此外，Δ¹_w定义为：∪{Σ¹_n∪π¹_n：n∈ω}，即所有解析关系的集合。此外，对n≥1，Σ¹_n关系可表示成下形范式：

(∃′f₁)(ᗄ′f₂)…(Q_nf_n)(Qx)

R(f₁，…，f_n，f_{n 1}，…，f_{n p}，x，x₁，…，x_q)，

其中若n为偶数，Q¹_n为ᗄ′，Q⁰为∃⁰；若n为奇数，Q¹_n为∃′，Q⁰为ᗄ⁰；而R为递归关系。π¹_n关系也可表示成以ᗄ′开头的类似表达式.解析分层还具有如下封闭性：

1.Σ¹_n，π¹_n，Δ¹_n对合取、析取运算与一阶量词封闭。

2.Δ¹_n对否定运算封闭。

3.R∈Σ¹_n，当且仅当ᒣR∈π¹_n；

R∈π¹_n，当且仅当ᒣR∈Σ¹_n。

4.对n≥1，Σ¹_n对二阶量词∃′封闭，π_n对二阶量词ᗄ′封闭。

关于解析分层的其他性质，参见“解析枚举定理”。此外，与算术分层不同，Δ¹₁≠Σ¹₀=π¹₀=Δ¹₀，Δ¹₁的关系称为超算术关系。

相对解析分层(relativized analytical bierarchy)是解析分层概念的相对化。即对相对算术关系依量词复杂性进行的递归论分层。具体地，对自然数集A，相对A的解析分层Σ^1,A_n，π^1,A_n与Δ^1,A_n可递归定义如下：

1.Σ^1,A₀=π^1,A₀={R：R为相对A的算术关系}。

2.Σ^1,A_{n 1}={(∃′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈π^1,A_n}。

3.π^1,A_{n 1}={(ᗄ′f)R(f，f₁，f₂，…，f_k，x₁，x₂，…，x_m)：R∈Σ^1,A_n}。

4.Δ^1,A_n=Σ^1,A_n∩π^1,A_n。

Σ^1,A_n，π^1,A_n与Δ^1,A_n中的关系分别称为Σ^1,A_n关系，π^1,A_n关系与Δ^1,A_n关系。此外，用Δ^1,A_w表示∪{Σ^1,A_n∪π^1,A_n：n∈w}，即所有相对A的解析关系的集合。

自动数据分层（automated data tiering）是一种软件程序，它根据公司规定的政策移动分层存储（tiered storage）间的数据文件、卷或区块。

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为了决定数据存储的位置，自动数据分层（automated data tiering）监控数据使用情况。频繁访问的数据会保留在高性能光纤通道（Fibre Channel）或是固态硬盘（solid-state drive）中，而低频访问的数据则被转移到低成本、高容量的本地驱动或是云存储中。

厂商声称，自动数据分层（automated data tiering）带来了多种好处。它能减少存储分层间动态分类和迁移数据时管理存储所需的时间。通过把低频访问数据转移到低成本驱动，组织不仅能省下用于高性能驱动的花费，还能通过减轻负载来提高性能。另外，减少活动文件的数据可以减少日常备份时间。2100433B