混合有限元方法可同时求解位移和应力，是数值求解线弹性问题的强有力工具。相对于标准有限元方法，混合有限元方法由于在计算中涉及到更多的未知量而使计算规模增大，因此如何构造混合元离散问题可靠且有效的后验误差估计子，优化网格加密策略，实现问题的高效自适应计算具有重要的应用价值。 本项目主要研究了线弹性问题的对称型混合有限元方法及其离散问题的后验误差估计。首先我们构造了求解线弹性问题的一族对称型非协调混合有限元，这族元的应力和位移有限元空间具有很好的匹配性，在形式上关于空间维数具有一致性，可以推广到任意维问题。我们证明了混合元离散问题解的存在唯一性并给出了最优的先验误差估计。对二维、三维问题进行了数值实验，从数值上验证了所构造混合元的最优收敛性和超收敛性,并且从理论上证明了这族元的超收敛性。其次我们研究了二维和三维线弹性问题对称型协调混合元方法的后验误差估计。利用应力误差的Helmholtz正交分解，构造了自适应求解离散问题的残量型后验误差估计子，证明了估计子的可靠性和有效性。通过对不同边值问题的自适应数值计算，验证了所构造后验误差估计子的可靠性和有效性，数值计算表明我们所构造的自适应算法具有最优的收敛性。最后我们研究了对称型非协调混合元离散问题的后验误差估计。本项目现已发表SCI检索论文2篇。 需要特别指出的是我们最近几年所得到的关于线弹性问题对称型混合有限元方法的研究成果，得到了工程界研究人员的关注，被用于求解一些工程问题并取得了比较好的计算效果，接下来我们将深入研究对称型混合元方法在实际工程计算中的应用。 2100433B

以后验误差估计和自适应网格改进技术为核心的自适应方法已被广泛用于有限元离散问题的数值求解中，并表现出色；可同时逼近位移与应力的混合有限元方法是数值求解线弹性问题的强有力工具。本项目主要研究线弹性问题的自适应对称型混合有限元方法。我们首先研究三维线弹性问题对称型协调有限元方法的后验误差估计。利用三维弹性序列给出应力的Helmholtz分解，据此构造残量型的后验误差估计子并证明其可靠性；利用对称型混合元和四阶问题有限元之间的关系，构造性地证明估计子的有效性。其次研究线弹性问题对称型非协调混合元方法的残量型后验误差估计。应用Helmholtz分解把应力误差分解为协调误差和非协调误差两部分，然后分别估计得到误差估计子的可靠性。最后利用所构造的后验误差估计子设计求解线弹性问题的对称型混合元自适应算法，研究拟正交性、离散Helmholtz分解、离散上界等重要性质，证明算法的收敛性和最优性。

该项目对椭圆界面问题、平面线弹性界面问题、Stokes界面问题、四阶方程界面问题等，深入研究了浸入界面有限元方法。对于分片不连续系数带非齐次跳跃条件的椭圆界面问题，我们利用奇异去除技巧去处理非齐次跳跃条件，提出了一种快速的增广浸入界面有限元方法；对于椭圆界面问题的浸入界面有限元方法，我们提出了一种对称相容的浸入界面有限元方法；对于具有分片常系数的椭圆界面问题，我们通过引入一个新的增广变量，提出了一种新的无需利用奇异值分解插值的增广浸入界面有限元方法；对具有分片变系数的椭圆界面问题，通过引入法向导数作为增广变量，我们提出了一种新的增广方法。对于两项流的Stokes界面问题，我们基于Nitsche方法和鬼罚方法，对最低阶的P1/P1元提出了一种新的非匹配稳定化有限元方法；对于Stokes方程模拟的流体流和达西定律建模的多孔介质流之间的流体结构耦合问题，我们提出了一种基于笛卡尔网格的新的有限差分方法。对平面弹性界面问题，我们用P1协调元逼近位移的第一个分量，用P1非协调元逼近位移的第二个分量，提出了一种新的非协调浸入界面有限元方法；为了克服用协调元构造扩展有限元空间的非协调性，对椭圆界面题，我们提出了一种网格与界面非匹配的协调增扩有限元方法，我们利用P1协调元空间逼近解的光滑部分，利用IFEM的技巧在界面附近构造一种特殊的局部有限元空间逼近解的法向导数跳量，我们的协调元空间逼近不依赖于跳跃条件，也不要求系数是分片常数。对具有不连续系数的四阶偏微分方程界面问题，通过引入中间边界条件作为增广变量，我们将原问题转化为在界面带源项跳跃的Poisson方程，提出了一种增广的快速差分方法。对带接触阻抗复合材料热传导问题，通过添加鬼罚项，提出了一种非匹配有限元方法。数值实验表明以上所提方法是有效的。此外，我们还提出了其他一些问题的数值方法，详细结果参见正文。 2100433B

本课题研究若干具有重要应用背景的偏微分方程最优控制问题的有限元方法，重点研究对流占优方程最优控制、流体控制、控制或观测发生在低维流型上的最优控制、多尺度最优控制及非线性最优控制问题，研究这些最优控制问题数值方法的先验及后验误差估计、自适应有限元计算及应用等。我们主要完成了下述几方面的工作：(1)以数值天气预报为背景，研究对流占优最优控制及流体系统最优控制问题的数值计算，在对流扩散方程最优控制问题的不连续Galerkin方法、Stokes-Darcy方程最优控制问题的后验误差估计和高效自适应有限元算法以及Stokes方程特征值问题等方面取得了有意义的进展。(2)以地质灾害预测的数值计算为背景，研究相关最优控制问题。我们研究了控制或观测发生在低维流型上的最优控制问题及数值计算，系统分析了此类问题的正则性，得到了最优误差估计。我们还研究了椭圆方程边界观测和点态观测的参数反演问题、反柯西问题及非线性最优控制问题，针对问题的特殊性，构造了有限元、混合元、及带有奇异解的混合格式，分析了解的正则性及先验和后验误差估计，并在此基础上构造了高效自适应有限元算法。(3)以复合材料最优设计为背景，研究最优控制问题的多尺度计算。我们研究了控制受限的小周期振动系数椭圆方程最优控制问题的多尺度渐近分析和有限元计算，首次得到最优误差估计。在此基础上我们进一步研究了复合材料设计的多尺度有限元计算，设计了新的算法，进行了误差分析，并得到了合理的数值实验结果。此外，我们还研究了小周期振动系数的椭圆方程最优控制问题的多尺度混合元计算，得到了最优误差估计。(4)针对各类最优控制问题的实际需要，我们继续研究最优控制问题及有限元方法的快速算法，包括多水平校正有限元方法及超收敛分析等，在最优控制多水平校正有限元方法方面取得突破，为进一步研究打下了良好基础。在上述研究基础上，我们出版专著一本，发表学术论文16篇，SCI收录13篇，其中4篇论文发表在SIAM Numer. Anal. 等本学科国际顶尖杂志上。有关工作得到国内外同行关注，被多篇论文引用并引起相关后续研究工作。 2100433B

弹性问题可能是线性的，也可能不是线性的，因为有势的向量场也包括非线性场。通常在力学上把弹性问题分为两类，一类叫做线性弹性问题，一类叫做非线性弹性问题，就是这个原因。

1、弹性包括线弹性和非线性弹性，弹性简单说指卸载后变形按原路径返回，没有残余变形，线弹性是应力与应变是直线关系，非线性弹性应力与应变是曲线。

2、在材料力学中，有比例极限与弹性极限两个概念，比例极限是符合虎克定律的最高限，弹性极限是没有塑性变形的最高限，那么在比例极限到弹性极限这一区段内，应力、应变是什么关系？怎么理解？是否可以理解为在比例极限到弹性极限区段内，虽然仍是弹性变形，但E值已非常量。续：弹性极限范围内：构件发生弹性变形，即撤除外力构件没有塑性变形；比例极限范围内：构件出了满足上面的条件，其应力－应变还成线性关系。即：比例极限就是线性弹性极。